Problem C. 1033. (April 2010)
C. 1033. Solve the equation \(\displaystyle \log_{2010}\, (2009\, x)=\log_{2009}\, (2010\, x)\).
Suggested by J. Pataki, Budapest
(5 pont)
Deadline expired on May 10, 2010.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A feladat értelmezési tartománya: \(\displaystyle x>0\). Áttérve 2009-es alapra:
\(\displaystyle \frac{\log_{2009} (2009x)}{\log_{2009} 2010}=\log_{2009} (2010x). \)
Szorozhatunk a nem 0 nevezővel:
\(\displaystyle \log_{2009} (2009x) =\log_{2009} 2010\cdot \log_{2009} (2010x). \)
Alkalmazzuk a szorzat logaritmusára ismert összefüggést:
\(\displaystyle \log_{2009} 2009+\log_{2009} x =\log_{2009} 2010\cdot (\log_{2009} 2010+\log_{2009} x),\)
\(\displaystyle 1+\log_{2009} x =\log_{2009}^2 2010+\log_{2009} 2010\cdot \log_{2009} x,\)
\(\displaystyle \log_{2009} x =-\frac{\log_{2009}^2 2010-1}{\log_{2009} 2010-1},\)
\(\displaystyle \log_{2009} x =-\log_{2009} 2010-1, \)
\(\displaystyle \log_{2009} x =\log_{2009} 2010^{-1}-\log_{2009} 2009, \)
\(\displaystyle \log_{2009} x =\log_{2009} \frac{1}{2009\cdot 2010}.\)
A \(\displaystyle \log_{2009} x\) függvény szigorú monotonitása miatt ez akkor és csak akkor teljesül, ha
\(\displaystyle x=\frac{1}{2009\cdot 2010}, \)
ami eleget tesz a kikötésnek. (Ellenőrzéssel látható, hogy jól számoltunk.)
Blóz Gizella Evelin (Paks, Vak Bottyán Gimn., 11. évf.)
Statistics:
148 students sent a solution. 5 points: 59 students. 4 points: 42 students. 3 points: 28 students. 2 points: 10 students. 1 point: 2 students. 0 point: 7 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2010