Problem C. 1038. (May 2010)

C. 1038. Define the function $\mathop{\rm lac}\, (x)$ on the set of real numbers as follows:

$\mathop{\rm lac}\, (x)=x, {\rm if \ } x\in [2n; 2n+1], { \rm \ where \ } n\in\mathbb{Z}, \quad {\rm or} \quad -x+4n+3, {\rm if \ } x\in ]2n+1; 2n+2[, {\rm \ where \ } n\in\mathbb{Z}.$

Solve the equation $\mathop{\rm lac}\, (2x^2 + x + 4)=\mathop{\rm lac}\, (x^2 + 7x -1)$ on the set of real numbers.

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A $\displaystyle \mathop{\rm lac}\, (x)$ függvény minden $\displaystyle [2n;2n+1]$ (ahol $\displaystyle n\in \mathbb{Z}$) intervallumban megegyezik az $\displaystyle f(x)=x$ függvénnyel, míg minden egyéb $\displaystyle \left]2n+1;2n+2\right[$ intervallum képe a $\displaystyle {g(x)=-x}$ egyenessel párhuzamos, a

$\displaystyle \left(2n+\frac{3}{2};2n+\frac{3}{2}\right) $

pontra szimmetrikusan illeszkedő nyílt szakasz (lásd ábra).

A $\displaystyle \mathop{\rm lac}\, (x)$ függvény tehát egy kölcsönösen egyértelmű függvény (azaz minden $\displaystyle x$ értékhez egyetlen $\displaystyle \mathop{\rm lac}\, (x)$ függvényérték tartozik és fordítva). Ebből a következik, hogy $\displaystyle \mathop{\rm lac}\, (2x^2+x+4)=\mathop{\rm lac}\, (x^2+7x-1)$ akkor és csak akkor teljesülhet, ha $\displaystyle 2x^2+x+4=x^2+7x-1$ is teljesül. Az egyenletet rendezve:

$\displaystyle x^2-6x+5=0. $

Ebből: $\displaystyle x_1 =1$, $\displaystyle x_2 =5$.

Tehát két megoldása van az eredeti egyenletnek.

Neumer Tamás (Budapest, Eötvös József Gimn., 11. évf.)

Statistics:

70 students sent a solution.

5 points: 56 students.

4 points: 1 student.

3 points: 11 students.

1 point: 2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2010

70 students sent a solution.
5 points:	56 students.
4 points:	1 student.
3 points:	11 students.
1 point:	2 students.

Already signed up?
New to KöMaL?