Problem C. 1045. (October 2010)

C. 1045. Three regular dice are rolled. The three numbers obtained on top are listed in an arbitrary order. Then the list is continued with the numbers obtained on the bottom, in the same order. The resulting six-digit number is divided by 111, 7 is subtracted from the ratio, and the difference is divided by 9. Prove that the result is a three-digit number whose digits are the numbers rolled.

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Felhasználjuk azt a tényt, hogy egy szabályos dobókocka bármely lapján és a vele szemközti lapon levő pöttyök összege 7. Ezért, ha a dobások valamilyen sorrendben \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\), akkor a lejegyzett hatjegyű szám \(\displaystyle \displaystyle{N=\overline{abc(7-a)(7-b)(7-c)}}=100000a+10000b+1000c+100(7-a)+10(7-b)+7-c=99900a+9990b+999c+777 \). A feladat szerint \(\displaystyle \displaystyle{\frac N{111}-7=900a+90b+9c+7-7=9\overline{abc}}\). A különbséget 9-cel osztva végeredményül \(\displaystyle \displaystyle{\overline{abc}}\)-t kapunk, ami valóban egy olyan háromjegyű szám, melynek számjegyei a dobott pöttyök számai.

Statistics:

357 students sent a solution.
5 points:	337 students.
4 points:	3 students.
3 points:	1 student.
2 points:	1 student.
1 point:	4 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2010