Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1064. (January 2011)

C. 1064. The real numbers x, y, z, in this order, are the first three terms of a non-constant arithmetic progression. Given that cos x+cos y+cos z=1 and \sin x + \sin y + \sin z = \frac{1}{\sqrt 2}, find the tangent of the 12th term.

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás: Mindkét egyenletnek vegyük a négyzetét:

\(\displaystyle \cos^2 x +\cos^2 y +\cos^2 z +2\cos x \cos y + 2\cos x\cos z + 2\cos y\cos z=1,\)

\(\displaystyle \sin^2 x +\sin^2 y +\sin^2 z +2\sin x \sin y + 2\sin x\sin z + 2\sin y\sin z=\frac 12.\)

Ezen egyenletek összege, felhasználva a \(\displaystyle \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi =1\) (``pithagoraszi'') azonosságot és a \(\displaystyle \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta = \cos (\alpha - \beta) = \cos (\beta - \alpha)\) (addíciós) azonosságot, a \(\displaystyle 3 + 2\cos (y-x) + 2\cos (z-x) + 2\cos (z-y)=\frac 32\) . Tekintve, hogy \(\displaystyle x, y,z\) egy számtani sorozat egymást követő tagjai, ezért a különbségük a sorozat differenciájával (\(\displaystyle d>0\)) kifejezhető. Ezért egyenletünk - átrendezés után \(\displaystyle \cos d + \cos (2d) + \cos d =-\frac 34\) lesz. \(\displaystyle \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha -1\) azonosság alapján megoldandó a \(\displaystyle 2\cos^2 d + 2\cos d - \frac 14 =0\) másodfokú trigonometrikus egyenlet, ahonnan \(\displaystyle \cos d=\sqrt{\frac 38}-\frac 12\approx 0,11237\) (tekintve, hogy \(\displaystyle \cos\varphi \ge -1\)), ahonnan \(\displaystyle d_1\approx 1,4582 + 2k\pi\) vagy \(\displaystyle d_2\approx 4,825 + 2l\pi\) (\(\displaystyle k,l>0\) egész). A feladatbeli első egyenletet \(\displaystyle x=y-d\) és \(\displaystyle z=y+d\) felhaszánálásával az addíciós képletek szerint \(\displaystyle 2\cos y \cos d + \cos y=1\), amiből \(\displaystyle \cos y=\frac 1{1+2\cos d} = \sqrt{\frac 23} \approx 0,8165\). Tehát \(\displaystyle y_1\approx 0,61548 + 2m\pi\) vagy \(\displaystyle y_2\approx 5,6677 + 2n\pi\) (\(\displaystyle m, n\) egész). Mivel a sorozat \(\displaystyle a=a_{12}=a_2+10d\)-ként számolható, ezért \(\displaystyle a^1=y_1+10d_1\approx 2,07368 +2k'\pi\), \(\displaystyle a^2=y_1+10d_2\approx 5,44048 +2l'\pi\), \(\displaystyle a^3=y_2+10d_1\approx 0,84271+2m'\pi\) és \(\displaystyle a^4=y_2+10d_2\approx 4,20951+2n'\pi\) (\(\displaystyle k', l', m', n'\) egész), Így a sorozat 12. tagjának tangense (az elöbbi sorozatoknak megfelelően) kb. -1,818, -1,12172, 1,12172, 1,818 (hiszen az első és negyedik, illetve második és harmadik esetben egymás ellentettei lesznek a 12. tagok (mod \(\displaystyle 2\pi\))).

2. megoldás: Egyből a különbséget beírva alkalmazzuk az addíciós képleteket mindkét egyenletre, melyek hányadosából \(\displaystyle \tg y=\frac 1{\sqrt 2}\), és ezzel \(\displaystyle \cos d\) számolható. Innen a megoldás ugyanúgy folytatható, mint az 1. megoldásban.


Statistics:

78 students sent a solution.
5 points:Antal Viktória, Béres Bertold, Bingler Arnold, Gehér Péter, Gyurcsik Dóra, Kasó Márton, Márki Gabriella, Németh Klára Anna, Ujhelyi Viktor, Vargha Sára, Vesztergombi Tamás.
4 points:Almási Dorottya, Barta Szilveszter Marcell, Enyedi Péter, Fonyó Viktória, Fülep Andrea , Szabó 928 Attila, Szentes Ákos.
3 points:26 students.
2 points:5 students.
1 point:9 students.
0 point:18 students.
Unfair, not evaluated:2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2011