Problem C. 1065. (February 2011)

C. 1065. Solve the equation , where for a positive integer n.

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenlet bal oldala nemnegatív, ezért \(\displaystyle x\ge a_n\). Ekkor a négyzetgyök alatt pozitív kifejezés áll. Vegyük az egyenlet mindkét oldalának négyzetét: \(\displaystyle x+a_n=x^2-2a_n x +a_n^2\), azaz \(\displaystyle x^2-(1+2a_n)x+a_n^2-a_n=0\). Ennek a másodfokú egyenletnek a diszkriminánsa \(\displaystyle 8a_n+1=4n(n+1)+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2\) és \(\displaystyle 2a_n+1=n^2+n+1\). Ezért a megoldóképlet szerint \(\displaystyle \displaystyle{\frac{n^2+n+1\pm (2n+1)}2}\). A kisebbik gyök \(\displaystyle \frac{n^2-n}2=a_{n-1}<a_n\) hamis, mert ebben az esetben \(\displaystyle x-a_n\) negatív, ami az eredeti egyenlet szerint nem fordulhat elő. A nagyobbik gyök \(\displaystyle \frac{n^2+3n+2}2=\frac{(n+1)(n+2)}2=a_{n+1}\) megoldása az egyenletnek.

Statistics:

147 students sent a solution.
5 points:	118 students.
4 points:	12 students.
3 points:	7 students.
2 points:	4 students.
1 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2011