Problem C. 1073. (March 2011)

C. 1073. The function f(x)=x³+ax²+bx+c () has at least two zeros. Prove that a²>3b.

(5 pont)

Deadline expired on April 11, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás Ha van két zérushelye \(\displaystyle f(x)\)-nek akkor \(\displaystyle f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\) alakba írható, ahol \(\displaystyle \alpha \ne \beta\). Ezen szorzatalakból kapott összeg együtthatóit összehasonlítva a feladatban megadottakkal

\(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=-a,\)

\(\displaystyle \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha =b,\)

\(\displaystyle \alpha\beta\gamma=-c.\)

Ezt használva \(\displaystyle a^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+2b\).

Állítás: \(\displaystyle \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 \ge \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha\), ugyanis legyen \(\displaystyle \mathbf u=(\alpha,\beta,\gamma)\) és \(\displaystyle \mathbf v=(\beta,\gamma,\alpha)\) térbeli vektorok, a bezárt szögük pedig \(\displaystyle \varphi\). Ekkor skalárszorzatuk \(\displaystyle \mathbf u \cdot \mathbf v = |\mathbf u||\mathbf v|\cos\varphi=(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)\cos\varphi=\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha\). Mivel \(\displaystyle \cos\varphi\le 1\), ezért az állítás teljesül. Egyenlőség csak \(\displaystyle \alpha=\beta=\gamma\) esetben van.

Ezt felhasználva (és megjegyezve, hogy a feladat feltétele szerint egyenlőség nem fordulhat elő) \(\displaystyle a^2>b+2b=3b\).

2. megoldás Tudjuk, hogy \(\displaystyle f(x)\) harmadfokú polinomfüggyény, ezért van olyan \(\displaystyle (-\infty, A)\) és \(\displaystyle (B,\infty)\) intervallumok, ahol \(\displaystyle f\) monoton nő. Mivel \(\displaystyle f(x)\)-nek van két zérushelye (\(\displaystyle \alpha < \beta\)), ezért biztosan van lokális minimuma vagy maximuma \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \beta\) között. Ez azt jelenti, hogy az \(\displaystyle f\) monotonitása megváltozik, azaz van olyan intervallum, ahol \(\displaystyle f\) monoton csökken. Ez azt is jelenti, hogy van egy másik, az előzőtől különböző lokális szélsőértéke, azaz \(\displaystyle f\) deriváltjának két zérushelye van. \(\displaystyle f'(x)=3x^2+2ax+b\)-nek akkor van két különböző zérushelye, ha a \(\displaystyle 3x^2+2ax+b=0\) egyenlet diszkriminánsa pozitív, azaz \(\displaystyle 4a^2-12b>0\), ahonnan átrendezve és 4-gyel osztva \(\displaystyle a^2>3b\).

Statistics:

86 students sent a solution.
5 points:	Balázs Bálint, Balázsi Tamás, Balogh Adrienn Judit, Balogh Tamás, Barta Szilveszter Marcell, Béres Bertold, Bingler Arnold, Csapodi Borbála, Csordás Gábor, Fazekas Gábor László, Fonyó Viktória, Gema Barnabás, Gyarmati Máté, Gyurcsik Dóra, Kasó Márton, Katona 100 Bálint, Kedves Máté, Király Edit, Kiss 986 Mariann, Kószó 94 Eszter, Kriston Melinda, Leitereg András, Márki Gabriella, Mezősi Máté, Nagy 021 Tibor, Nagy Anna Noémi, Németh Klára Anna, Prokaj Dániel, Sagmeister Ádám, Samu Viktor, Schultz Vera Magdolna, Szaksz Bence, Szekeres Ágnes, Temesvári Fanni, Tóth Endre, Varga 149 Imre Károly, Varga 911 Szabolcs, Varga Zoltán Attila.
4 points:	21 students.
3 points:	7 students.
2 points:	7 students.
1 point:	6 students.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2011