Problem C. 1081. (May 2011)

C. 1081. Two regular polygons are said to be matching if the double of the interior angle of one of them equals the triple of the exterior angle of the other. Find all pairs of matching polygons.

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyik szabályos sokszög \(\displaystyle k\)-szög, a másik \(\displaystyle n\)-szög. Ekkor a \(\displaystyle k\)-szög belső szöge \(\displaystyle \frac{(k-2)\cdot 180^\circ}{k}\), az \(\displaystyle n\)-szög külső szöge \(\displaystyle \frac{360^\circ}{n}\). A két sokszög összetartozó, ha

\(\displaystyle \frac{k\cdot 360^\circ-720^\circ}{k}=\frac{1080^\circ}{n}.\)

Egyszerűsítve: \(\displaystyle 1-\frac 2k=\frac{3}{n}\), ahonnan \(\displaystyle n=\frac{3k}{k-2}=3+\frac{6}{k-2}\). Mivel \(\displaystyle n\ge 3\) egész, ezért \(\displaystyle \frac{6}{k-2}\) nemnegatív egész: \(\displaystyle k-2\) a 6 pozitív osztója. Tehát \(\displaystyle k-2\) csak 1, 2, 3, 6 lehet, azaz \(\displaystyle k\) 3, 4, 5 vagy 8. A hozzá tartozó \(\displaystyle n\) értékek pedig 9, 6, 5, 4. Az összetartozó szabályos sokszögpárok: (3, 9), (4, 6), (5, 5) és (8, 4) a feladat szerinti rendezett párokként.

Statistics:

109 students sent a solution.
5 points:	68 students.
4 points:	19 students.
3 points:	14 students.
2 points:	4 students.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2011