Problem C. 1088. (September 2011)

C. 1088. The base of a right prism is a right-angled triangle. The lengths of the edges of the prism are integers. The prism has two faces with areas equal to 30 and 13 units. Find the volume of the prism.

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A derékszögű háromszög alapú egyenes hasábnak öt lapja van: két darab egybevágó háromszög (az alaplapok), a palástot pedig három téglalap alkotja. A hasáb magasságát jelölje \(\displaystyle m\), a háromszög oldalai pedig legyenek \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\), ahol \(\displaystyle a<b<c\), tehát \(\displaystyle c\) a háromszög átfogója.

Ekkor a hasáb lapjainak területe rendre: \(\displaystyle \frac{ab}2\), \(\displaystyle am\), \(\displaystyle bm\) és \(\displaystyle cm\).

A hasáb térfogata egyenlő az alaplap területének és a hasáb magasságának szorzatával: \(\displaystyle V=\frac{abm}2\).

Tudjuk, hogy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle m~\in Z\), illetve a négy különböző terület közül az egyik 13, a másik 30.

Mivel 13 prímszám, ezért két eset lehetséges.

I) \(\displaystyle \frac{ab}2=13\);

II) \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) közül legalább egynek a hossza 1, és \(\displaystyle m=13\), vagy fordítva: \(\displaystyle m=1\) és \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) vagy \(\displaystyle c\) pedig 13.

Vizsgáljuk meg mindkét esetet.

I) \(\displaystyle \frac{ab}2=13\), ekkor \(\displaystyle ab=26\). \(\displaystyle 26\)-nak négy pozitív egész osztója van: 1, 2, 13 és 26, vagyis vagy \(\displaystyle a=1\) és \(\displaystyle b=26\), vagy \(\displaystyle a=2\) és \(\displaystyle b=13\). Egyik esetben sem lesz \(\displaystyle c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) egész szám, tehát \(\displaystyle ab \ne 26\).

II) \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) pitagoraszi számhármast alkotnak. Az 1 nem tagja egy pitagoraszi számhármasnak sem. Tehát \(\displaystyle m=1\). Ebből következik, hogy a háromszög egyik oldalának hossza 13 egység. Függvénytáblázatban láthatjuk, hogy 13 kettő pitagoraszi számhármasnak is tagja. Az egyik számhármas az 5, 12, 13, a másik pedig a 13, 84, 85. Az első számhármas megfelelő: \(\displaystyle \frac{5\cdot12}{2}=30\). A második számhármas esetén azonban nem keletkezik 30 egységnyi területű lap.

Azt kaptuk, hogy: \(\displaystyle a=5\), \(\displaystyle b=12\), \(\displaystyle c=13\) és \(\displaystyle m=1\).

Az élek ismeretében már megadható a hasáb térfogata:

\(\displaystyle V=\frac{ab}2 \cdot m=30.\)

A hasáb térfogata tehát 30 egység.

Cseppentő Bence (Szolnok, Varga Katalin Gimn., 11. o. t.)

Statistics:

452 students sent a solution.
5 points:	206 students.
4 points:	85 students.
3 points:	48 students.
2 points:	32 students.
1 point:	43 students.
0 point:	31 students.
Unfair, not evaluated:	7 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2011