Problem C. 1098. (November 2011)

C. 1098. Prove that if two opposite angles of a convex circumscribed quadrilateral are right angles then the quadrilateral is a kite.

(5 pont)

Deadline expired on December 12, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) csúcsánál legyen a derékszög, továbbá \(\displaystyle AB=a\), \(\displaystyle BC=b\), \(\displaystyle CD=c\) és \(\displaystyle DA=d\). Mivel érintőnégyszög, ezért

\(\displaystyle (1)\qquad a+c=b+d,\)

az \(\displaystyle ABD\) és \(\displaystyle CDB\) derékszögű háromszögekben pedig Pithagorasz tétele szerint

\(\displaystyle (2)\qquad a^2 + d^2 = BD^2= b^2 + c^2.\)

Átrendezve és mindkét oldalának a négyzetét véve

\(\displaystyle (1^*)\qquad a^2 -2ad +d^2 = b^2 -2bc +c^2.\)

\(\displaystyle 2\cdot(2)-(1^*): \quad (a+d)^2=(b+c)^2,\)

ahonnan pozitív számok összegéről lévén szó \(\displaystyle a+d=b+c\). Ezt \(\displaystyle (1)\)-gyel összevetve kapjuk, hogy \(\displaystyle a=b\) és \(\displaystyle c=d\), azaz a négyszög deltoid.

Statistics:

325 students sent a solution.
5 points:	196 students.
4 points:	67 students.
3 points:	12 students.
1 point:	29 students.
0 point:	18 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2011