Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1098. (November 2011)

C. 1098. Prove that if two opposite angles of a convex circumscribed quadrilateral are right angles then the quadrilateral is a kite.

(5 pont)

Deadline expired on December 12, 2011.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) csúcsánál legyen a derékszög, továbbá \(\displaystyle AB=a\), \(\displaystyle BC=b\), \(\displaystyle CD=c\) és \(\displaystyle DA=d\). Mivel érintőnégyszög, ezért

\(\displaystyle (1)\qquad a+c=b+d,\)

az \(\displaystyle ABD\) és \(\displaystyle CDB\) derékszögű háromszögekben pedig Pithagorasz tétele szerint

\(\displaystyle (2)\qquad a^2 + d^2 = BD^2= b^2 + c^2.\)

Átrendezve és mindkét oldalának a négyzetét véve

\(\displaystyle (1^*)\qquad a^2 -2ad +d^2 = b^2 -2bc +c^2.\)

\(\displaystyle 2\cdot(2)-(1^*): \quad (a+d)^2=(b+c)^2,\)

ahonnan pozitív számok összegéről lévén szó \(\displaystyle a+d=b+c\). Ezt \(\displaystyle (1)\)-gyel összevetve kapjuk, hogy \(\displaystyle a=b\) és \(\displaystyle c=d\), azaz a négyszög deltoid.


Statistics:

326 students sent a solution.
5 points:197 students.
4 points:67 students.
3 points:12 students.
1 point:29 students.
0 point:18 students.
Unfair, not evaluated:3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2011