Problem C. 1103. (December 2011)

C. 1103. Gábor multiplied two positive numbers together, and found it interesting that the result was the same as the sum of the two numbers. He has forgotten the numbers themselves, but he can remember that they contained a single decimal digit each. What may be the numbers?

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A két szám (\(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\)) összege is legfeljebb egy tizedesjegyet tartalmaz, így a szorzáskor kapott szám számjegyeiben a századok helyén 0 van, ezért az eredeti számok \(\displaystyle n,5\) és \(\displaystyle m,k\) alakúak, ahol \(\displaystyle k\) nemnulla páros szám. A keresett számokat közönséges törtalakba írva \(\displaystyle \frac N2\) és \(\displaystyle \frac M5\)-ként (\(\displaystyle N\) és \(\displaystyle M\) egészek) a szorzat és összeg \(\displaystyle \frac N2 + \frac M5 = \frac{NM}{10}\), azaz \(\displaystyle 5N+2M=NM\). \(\displaystyle M=\frac{5N}{N-2}=5+\frac{10}{N-2}\) alapján 10 osztóit keressük. Mivel \(\displaystyle N\ge 1\), ezért a legkisebb osztó a -1 lehet. A lehetséges számpárok:

A táblázat tartalmazza azokat a számpárokat is, melyek nem felelnel meg a feladat azon követelményének, hogy mindkét számnak pontosan egyetlen tizedesjegye legyen.

Gábor az 1,4 és 3,5 számokat szorozta össze.

Statistics:

252 students sent a solution.
5 points:	155 students.
4 points:	13 students.
3 points:	11 students.
2 points:	32 students.
1 point:	11 students.
0 point:	16 students.
Unfair, not evaluated:	14 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2011