Problem C. 1121. (April 2012)
C. 1121. Prove that if n is a natural number then the value of the sum is an integer.
(5 pont)
Deadline expired on May 10, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. . Mivel a 7, a 9 és 16 egymáshoz relatív prímek, azért ez a tört pontosan akkor egész szám, ha a 7, a 9 és a 16 is osztja a számlálóját.
1)
Ez utóbbi szorzat második tényezője egész, így a szorzat osztható 7-tel.
2)
Ezt teljes indukcióval látjuk be. Ha n=1, akkor 7.25-44=-81 osztható 9-cel. Tegyük fel, hogy az állítás igaz n=k-ra és írjuk fel n=k+1-re:
25.(7.52k)-16.42k+2=16.(7.52k-42k+2)+9.(7.52k).
Az összeg első tagjának második tényezője az indukciós feltevés miatt osztható 9-cel, a második tag is osztható vele, így az összegük is.
3)
Ezt is teljes indukcióval látjuk be. Ha n=1, akkor 34+7.25=256 osztható 16-tal. Tegyük fel, hogy az állítás igaz n=k-ra és írjuk fel n=k+1-re:
9.32k+2+25.7.52k=9.(32k+2+7.52k)+16.7.52k.
Az összeg első tagjának második tényezője az indukciós feltevés szerint osztható 16-tal; a második tag szintén osztható 16-tal, így az összeg is.
Statistics:
127 students sent a solution. 5 points: 102 students. 4 points: 12 students. 3 points: 2 students. 2 points: 3 students. 1 point: 4 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2012