Problem C. 1129. (May 2012)
C. 1129. The tangents drawn from a certain point to the parabola 2y=x2-2 are also tangent to the parabola 4y=x2-10x+37. Find the point.
Suggested by G. Holló, Budapest
(5 pont)
Deadline expired on June 11, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Érintse a keresett P ponton átmenő y=mx+a egyenletű egyenes mindkét parabolát.
Az első parabola: 2y=x2-2. Ezt pontosan akkor érinti az y=mx+a egyenes, ha a 0=x2-2mx-(2a+2) egyenlet diszkriminánsa 0: 4m2+8a+8=0, amiből .
A második parabola: 4y=x2-10x+37. Most a 0=x2-(10+4m)x+(37-4a) egyenlet diszkriminánsa kell, hogy 0 legyen:
Innen .
Most már felírható a két egyenes egyenlete:
Az egyenletrendszer megoldása: x=-5, y=-5. Tehát a keresett P pont koordinátái: P(-5;-5).
Statistics:
81 students sent a solution. 5 points: 52 students. 4 points: 5 students. 3 points: 5 students. 2 points: 6 students. 1 point: 8 students. 0 point: 3 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2012