Problem C. 1138. (October 2012)
C. 1138. Solve the following equation on the set of real numbers: .
(5 pont)
Deadline expired on November 12, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A gyökjelek alatt nemnegatív számok állnak. Mivel \(\displaystyle 4-x(4-x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\geq0\), ezért elég, ha az \(\displaystyle x\leq4\) feltétel teljesül.
A fentiek alapján az egyenlet így írható:
\(\displaystyle |x-2|-\sqrt{4-x}=4.\)
I. eset: \(\displaystyle 2\leq x\leq4\). Ekkor \(\displaystyle |x-2|=x-2\), a kapott egyenletet rendezve:
\(\displaystyle x-6=\sqrt{4-x}.\)
Mivel a jobb oldal nemnegatív, így a bal oldal sem lehet az, vagyis \(\displaystyle x\geq6\), ami ellentmond az \(\displaystyle 2\leq x\leq4\) feltételnek.
II. eset: \(\displaystyle x<2\). Ekkor \(\displaystyle |x-2|=2-x\), az egyenlet rendezve pedig:
\(\displaystyle -2-x=\sqrt{4-x}.\)
Mivel a jobb oldal nemnegatív, azért \(\displaystyle -2-x\geq0\), vagyis \(\displaystyle x\leq-2\).
Négyzetre emelve és rendezve:
\(\displaystyle x^2+4x+4=4-x,\)
\(\displaystyle x^2+5x=x(x+5)=0.\)
Innen \(\displaystyle x_1=0\) és \(\displaystyle x_2=-5\). A \(\displaystyle 0\) hamis gyök, így az egyetlen megoldás:
\(\displaystyle x=-5.\)
Statistics:
453 students sent a solution. 5 points: 338 students. 4 points: 17 students. 3 points: 41 students. 2 points: 33 students. 1 point: 19 students. 0 point: 5 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2012