Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1138. (October 2012)

C. 1138. Solve the following equation on the set of real numbers: \sqrt{4-x(4-x)}
-\sqrt{4-x} =4.

(5 pont)

Deadline expired on November 12, 2012.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A gyökjelek alatt nemnegatív számok állnak. Mivel \(\displaystyle 4-x(4-x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\geq0\), ezért elég, ha az \(\displaystyle x\leq4\) feltétel teljesül.

A fentiek alapján az egyenlet így írható:

\(\displaystyle |x-2|-\sqrt{4-x}=4.\)

I. eset: \(\displaystyle 2\leq x\leq4\). Ekkor \(\displaystyle |x-2|=x-2\), a kapott egyenletet rendezve:

\(\displaystyle x-6=\sqrt{4-x}.\)

Mivel a jobb oldal nemnegatív, így a bal oldal sem lehet az, vagyis \(\displaystyle x\geq6\), ami ellentmond az \(\displaystyle 2\leq x\leq4\) feltételnek.

II. eset: \(\displaystyle x<2\). Ekkor \(\displaystyle |x-2|=2-x\), az egyenlet rendezve pedig:

\(\displaystyle -2-x=\sqrt{4-x}.\)

Mivel a jobb oldal nemnegatív, azért \(\displaystyle -2-x\geq0\), vagyis \(\displaystyle x\leq-2\).

Négyzetre emelve és rendezve:

\(\displaystyle x^2+4x+4=4-x,\)

\(\displaystyle x^2+5x=x(x+5)=0.\)

Innen \(\displaystyle x_1=0\) és \(\displaystyle x_2=-5\). A \(\displaystyle 0\) hamis gyök, így az egyetlen megoldás:

\(\displaystyle x=-5.\)


Statistics:

453 students sent a solution.
5 points:338 students.
4 points:17 students.
3 points:41 students.
2 points:33 students.
1 point:19 students.
0 point:5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2012