Problem C. 1142. (November 2012)
C. 1142. The points P, A, B and Q, in this order, lie on the same line such that PA=BQ, and a triangle ABC with interior angles of 36o, 72o, 72o can be constructed out of the three line segments. Let R be the intersection of the circle of radius CP centred at C and the extension of the line AC beyond C. Find the angles subtended by the line segment PQ at the points C and R.
(5 pont)
Deadline expired on December 10, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Készítsünk ábrát.
Az \(\displaystyle ABC\) háromszög egyenlő szárú, szögei rendre \(\displaystyle 72^{\circ}\), \(\displaystyle 72^{\circ}\) és \(\displaystyle 36^{\circ}\).
Mivel \(\displaystyle CA=AP=BQ=BC\), ezért az \(\displaystyle APC\) háromszög egyenlő szárú, alapon fekvő szögei pedig \(\displaystyle BAC\angle/2=72^{\circ}/2=36^{\circ}\) fokosak. Hasonlóan a \(\displaystyle BQC\) háromszög is egyenlő szárú, alapon fekvő szögei szintén \(\displaystyle 36^{\circ}\) fokosak. A két háromszög egybevágó, így alapjuk is egyenlő: \(\displaystyle PC=QC\). Mivel \(\displaystyle PC=CR\), ezért \(\displaystyle PC=QC=CR\).
Ekkor a \(\displaystyle CQR\) háromszög egyenlő szárú és alapon fekvő szögei \(\displaystyle ACQ\angle/2=36^{\circ}\) fokosak. A \(\displaystyle CPR\) háromszög szintén egyenlő szárú, alapon fekvő szögei \(\displaystyle ACP\angle/2=36^{\circ}/2=18^{\circ}\) fokosak.
A keresett szögek: \(\displaystyle PCQ\angle=36^{\circ}+36^{\circ}+36^{\circ}=108^{\circ}\), \(\displaystyle PRQ\angle=18^{\circ}+36^{\circ}=54^{\circ}\).
Statistics:
301 students sent a solution. 5 points: 173 students. 4 points: 50 students. 3 points: 37 students. 2 points: 18 students. 1 point: 14 students. 0 point: 6 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2012