Problem C. 1145. (December 2012)

C. 1145. Prove that odd numbers and the multiples of 4 can all be expressed as differences of two perfect squares, whereas the even numbers not divisible by 4 cannot.

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Írjuk fel a négyzetszámok sorozatát: 0, 1, 4, 9, 16, ..., \(\displaystyle n\), \(\displaystyle (n+1)^2\)..., ahol \(\displaystyle a_0=0\), \(\displaystyle a_n=n^2\) (ahol \(\displaystyle n\in\Bbb N\)).

Két szomszédos négyzetszám közötti különbség: \(\displaystyle a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-n^2=2n+1\). Vagyis tetszőleges pozitív páratlan szám felírható két szomszédos négyzetszám különbségeként.

Írjuk fel két tetszőleges négyzetszám különbségét. Ez valahány egymás utáni négyzetszám összege lesz:

\(\displaystyle (2n+1)+(2n+3)+\ldots+(2n+(2k+1))=\)

\(\displaystyle =\frac{(2n+1)+(2n+(2k+1))}{2}(k+1)=(2n+k+1)(k+1)\qquad(k\geq1).\)

Ha \(\displaystyle (k+1)\) páratlan, akkor ez a szorzat is az, ha pedig páros, akkor a szorzat mindkét tényezője páros, vagyis a szorzat osztható 4-gyel.

Legyen tehát \(\displaystyle n=4m\). A négyzetszámok sorozatát vizsgálva: \(\displaystyle 4-0=4\), \(\displaystyle 9-1=8\), \(\displaystyle 16-4=12\),... Azt sejtjük, hogy \(\displaystyle 4m=a_{m+1}^2-a_{m-1}^2\). És valóban, hiszen ez nem más, mint \(\displaystyle (m+1)^2-(m-1)^2=4m\).

Statistics:

286 students sent a solution.
5 points:	162 students.
4 points:	22 students.
3 points:	29 students.
2 points:	56 students.
1 point:	7 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	8 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2012