Problem C. 1152. (January 2013)

C. 1152. Let $f(x)= \left|x+ \frac 32\right|- \frac 32$ and let

Find the zeros of f-g.

(5 pont)

Deadline expired on February 11, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. I.) Ha $\displaystyle x\geq -3/2$, akkor $\displaystyle f(x)=x+3/2-3/2=x$. Ekkor 3 eset van.

1.) $\displaystyle -3/2\leq x<-1$. Ekkor az egyenlet:

$\displaystyle x=\sqrt{-x-1}.$

A bal oldal negatív, a jobb oldal nem, ezért nincs megoldás.

2.) $\displaystyle -1\leq x<1$. Ekkor az egyenlet:

$\displaystyle x=-\sqrt{1-x^2}.$

Mivel a jobb oldal legfeljebb 0, ezért $\displaystyle -1\leq x\leq0$. Négyzetre emelve, majd rendezve:

$\displaystyle x^2=1-x^2,$

$\displaystyle 2x^2-1=0.$

Ennek megoldása $\displaystyle \pm\sqrt2/2$, ebből csak az egyik nem pozitív: $\displaystyle x_1=-\sqrt2/2$.

3.) $\displaystyle x\geq1$. Az egyenlet: $\displaystyle x=\sqrt{x-1}$. Négyzetre emelve: $\displaystyle x^2=x-1$, amiből $\displaystyle 0=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4$, ami lehetetlen.

II.) Ha $\displaystyle x<-3/2$, akkor $\displaystyle f(x)=-x-3/2-3/2=-x-3$. Ekkor az egyenlet:

$\displaystyle -x-3=\sqrt{-x-1}.$

Négyzetre emelve és rendezve:

$\displaystyle x^2+6x+9=-x-1,$

$\displaystyle x^2+7x+10=(x+2)(x+5)=0.$

A két gyök közül csak az egyik kisebb -3/2-nél: $\displaystyle x_2=-5$.

Statistics:

240 students sent a solution.

5 points: 119 students.

4 points: 77 students.

3 points: 15 students.

2 points: 6 students.

1 point: 14 students.

0 point: 7 students.

Unfair, not evaluated: 2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2013

240 students sent a solution.
5 points:	119 students.
4 points:	77 students.
3 points:	15 students.
2 points:	6 students.
1 point:	14 students.
0 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?