Problem C. 1177. (September 2013)
C. 1177. For what positive integer n will the number 1!+3!+...+(2n-1)! be a perfect square?
(5 pont)
Deadline expired on October 10, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
1. megoldás. Ha n=1, akkor az összeg 1, ami négyzetszám. Ha n=2, akkor az összeg 7, ami nem négyzetszám. Ha pedig n
3, akkor az összegben az 5!, a 7! és a többi tag egyik tényezője 4, vagyis a harmadik tagtól kezdve minden tag osztható 4-gyel. Így az összeg 4-gyel való osztási maradéka 1!+3!=7 osztási maradéka, ami 3. Viszont egy páratlan négyzetszám 4-gyel osztva 1 maradékot ad: (2k+1)2=4k2+4k+1.
Vagyis kérdéses összeg csak n=1 esetén lesz négyzetszám.
2. megoldás. Ha n=1, akkor a kifejezés értéke 1!=1, vagyis négyzetszám. Ha n=2, akkor a kifejezés értéke 1!+3!=7, ami nem négyzetszám. Ha n>2, akkor a (2n-1)! utolsó jegye 0, vagyis az 1!+3!+...+(2n+1)! utolsó jegye ekkor mindig 7 lesz. A négyzetszámok végződései: 0, 1, 4, 9, 6, 5. Vagyis nem lehet négyzetszám. Az egyedüli megoldás, ha n=1.
Statistics:
300 students sent a solution. 5 points: 173 students. 4 points: 81 students. 3 points: 24 students. 2 points: 5 students. 1 point: 6 students. 0 point: 9 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2013