Problem C. 1185. (October 2013)

C. 1185. Determine the value of n such that $1+1^2+2+2^2+3+3^2+\ldots+n+n^2=2280$ .

(5 pont)

Deadline expired on November 11, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

$\displaystyle 1+1^2+2+2^2+3+3^2+\ldots+n+n^2=(1+2+3+\dots+n)+(1^2+2^2+3^2+\dots+n^2)=$

$\displaystyle =\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=$

$\displaystyle =\frac{n(n+1)}{2}\left(1+\frac{2n+1}{3}\right)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}=2280,$

$\displaystyle n(n+1)(n+2)=6840=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot19.$

A 19 prímszám, $\displaystyle 2\cdot3^2=18$ és $\displaystyle 2^2\cdot5=20$, így a megoldás $\displaystyle n=18$.

Próbálkozással is célhoz érünk: Mivel ez három egymást követő szám szorzata, és 6840 köbgyöke majdnem 19, ezért próbáljuk ki az $\displaystyle n=18$-at: $\displaystyle 18\cdot19\cdot20=6840$, vagyis $\displaystyle n=18$ megoldás. Ha $\displaystyle n$ értékét növeljük, illetve csökkentjük, akkor a szorzat értéke is nő, illetve csökken - az egyetlen megoldás az $\displaystyle n=18$.

Statistics:

312 students sent a solution.

5 points: 151 students.

4 points: 73 students.

3 points: 63 students.

2 points: 9 students.

1 point: 6 students.

0 point: 7 students.

Unfair, not evaluated: 3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2013

312 students sent a solution.
5 points:	151 students.
4 points:	73 students.
3 points:	63 students.
2 points:	9 students.
1 point:	6 students.
0 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?