Problem C. 1189. (November 2013)
C. 1189. Find all integers n such that is also an integer.
(5 pont)
Deadline expired on December 10, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle \frac{n^2+2n-8}{n^2+n-12}=\frac{n^2+n-12+n+4}{n^2+n-12}=1+\frac{n+4}{n^2+n-12}\). Vegyük észre, hogy \(\displaystyle n^2+n-12=(n+4)(n-3)\), így a kifejezés tovább alakítható: \(\displaystyle 1+\frac{n+4}{n^2+n-12}=1+\frac{n+4}{(n+4)(n-3)}=1+\frac{1}{n-3}\), ahol \(\displaystyle n\neq3\) és \(\displaystyle n\neq-4\). Ez pontosan akkor egész szám, ha \(\displaystyle n-3=-1\) vagy \(\displaystyle n-3=1\). Ekkor \(\displaystyle n=2\) vagy \(\displaystyle n=4\).
Megjegyzés: Ha valaki a számlálót rögtön átalakítja: \(\displaystyle n^2+2n-8=(n+4)(n-2)\), akkor a törtet így írhatja fel: \(\displaystyle \frac{n^2+2n-8}{n^2+n-12}=\frac{(n+4)(n-2)}{(n+4)(n-3)}=\frac{n-2}{n-3}=1+\frac{1}{n-3}\).
Statistics:
196 students sent a solution. 5 points: 82 students. 4 points: 69 students. 3 points: 26 students. 2 points: 6 students. 1 point: 4 students. 0 point: 6 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013