Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1192. (November 2013)

C. 1192. It can be checked by substitution that x=1 is a root of the equation \sqrt{5x^4+4x^2+3x+2\sqrt x+2}=4. Solve the equation.

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Nézzük az \(\displaystyle \sqrt{5x^4+4x^2+3x+2\sqrt x+2}=4\) hozzárendelésű \(\displaystyle f(x)\) függvényt. A függvény legbővebb értelmezési tartománya a nem negatív valós számok halmaza. A függvény grafikonjáról alig tudunk valamit, de a hozzárendelési szabályában szereplő műveletek miatt megállapíthatjuk, hogy az \(\displaystyle f(x)\) függvény szigorúan monoton növekedő az értelmezési tartományán.

Tudjuk, hogy \(\displaystyle f(1)=4\). A függvény szigorú monoton növekedése miatt \(\displaystyle 0\leq x<1\) esetén \(\displaystyle f(x)<4\), \(\displaystyle 1<x\) esetén pedig \(\displaystyle f(x)>4\) lesz.

Vagyis az egyenlet egyedüli megoldása az \(\displaystyle x=1\).

Statistics:

167 students sent a solution.
5 points:127 students.
4 points:8 students.
2 points:10 students.
1 point:7 students.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013