Problem C. 1200. (December 2013)
C. 1200. Solve the equation .
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2014.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A bal oldal legalább \(\displaystyle 2^0=1\), a jobb oldal pedig legfeljebb \(\displaystyle 1-0=1\). Tehát a két oldal csak úgy lehet egyenlő, ha mindkettő 1.
Ha a bal oldal 1, akkor a kitevő, vagyis \(\displaystyle \sqrt{9-4x^2}=0\). Ebből \(\displaystyle 9-4x^2=0\), vagyis \(\displaystyle 9=4x^2\) és innen \(\displaystyle x=\pm\frac32\).
Ha a jobb oldal 1, akkor \(\displaystyle \left|\frac12-\left|\frac13x\right|\right|=0\), amiből \(\displaystyle \frac12-\left|\frac13x\right|=0\) következik. Vagyis \(\displaystyle \frac12=\left|\frac13x\right|\), és innen \(\displaystyle \pm\frac12=\frac13x\), azaz \(\displaystyle \pm\frac32=x\) következik.
Mivel a bal és a jobb oldal ugyanazon \(\displaystyle x\) értékek esetén éri el az 1-et, ezért a megoldás: \(\displaystyle x=\pm\frac32\).
Statistics:
191 students sent a solution. 5 points: 126 students. 4 points: 48 students. 3 points: 9 students. 2 points: 1 student. 1 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 6 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013