Problem C. 1203. (January 2014)

C. 1203. Show that if x, y and z are rational numbers such that x+yz, z0, and (a-1)²x+(a-1)²y-(a²-1)z=0, then a is also a rational number.

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Alakítsuk a kifejezést:

0=(a-1)²x+(a-1)²y-(a²-1)z=(a-1)(a-1)x+(a-1)(a-1)y-(a+1)(a-1)z=

=(a-1)[(a-1)x+(a-1)y-(a+1)z].

Egy szorzat akkor 0, ha az egyik tényezője az. Ha az első tényező 0, akkor a=1, ami racionális. Ha a második tényező 0, akkor (a-1)x+(a-1)y-(a+1)z=0. Innen

ax+ay-az-x-y-z=0,

a(x+y-z)=x+y+z,

osztva (x+y-z0)-val:

Itt a számláló és a nevező is három racionális szám összege (hiszen -z is racionális), így hányadosuk, a is racionális. (Mivel z0, ezért ekkor a1.)

Statistics:

142 students sent a solution.
5 points:	95 students.
4 points:	18 students.
3 points:	6 students.
2 points:	12 students.
1 point:	3 students.
0 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2014