Problem C. 1373. (October 2016)
C. 1373. Let \(\displaystyle a\) and \(\displaystyle b\) denote positive integers. Given that three line segments of lengths \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 1/a\), \(\displaystyle b\) can form a triangle, and three line segments of lengths \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle 1/b\) can also form a triangle, prove that both triangles are isosceles.
(5 pont)
Deadline expired on November 10, 2016.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Vizsgáljuk először az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 1/a\), \(\displaystyle b\) oldalakkal rendelkező háromszöget. Mivel a háromszög az adott oldalakkal megszerkeszthető, ezért igaz rá a háromszög-egyenlőtlenség bármely oldalakra felírva. Először írjuk fel így:
\(\displaystyle a+\frac1a>b.\)
Az \(\displaystyle a>0\) számmal szorozva:
\(\displaystyle a^2+1>ab,\)
\(\displaystyle a^2>ab-1.\)
Másodszor írjuk fel így:
\(\displaystyle b+\frac1a>a.\)
Az \(\displaystyle a>0\) számmal szorozva:
\(\displaystyle ab+1>a^2.\)
A kapott egyenlőtlenségeket egymás után írva:
\(\displaystyle ab+1>a^2>ab-1.\)
Mivel \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egész számok, ezért ez csak akkor teljesülhet, ha
\(\displaystyle ab=a^2,\)
\(\displaystyle b=a.\)
Vagyis ez a háromszög egyenlő szárú.
Most vizsgáljuk hasonlóan az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle 1/b\) oldalakkal rendelkező háromszöget. Írjuk fel itt is a háromszög egyenlőtlenséget:
\(\displaystyle b+\frac1b>a.\)
A \(\displaystyle b>0\) számmal szorozva:
\(\displaystyle b^2+1>ab,\)
\(\displaystyle b^2>ab-1.\)
Másodszor így írjuk fel:
\(\displaystyle a+\frac1b>b.\)
A \(\displaystyle b>0\) számmal szorozva:
\(\displaystyle ab+1>b^2.\)
A kapott egyenlőtlenségeket egymás után írva:
\(\displaystyle ab+1>b^2>ab-1.\)
Mivel \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egész számok, ezért
\(\displaystyle ab=b^2,\)
\(\displaystyle b=a.\)
Tehát ez a háromszög is egyenlő szárú.
Statistics:
255 students sent a solution. 5 points: 191 students. 4 points: 17 students. 3 points: 25 students. 2 points: 11 students. 1 point: 7 students. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2016