Problem C. 1393. (January 2017)

C. 1393. Prove that there is no triangle whose altitudes have lengths 20, 17 and 9 cm.

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy létezik ilyen háromszög. Ekkor a háromszög területét háromféleképpen felírva:

\(\displaystyle T=\frac{a\cdot m_a}{2}=\frac{b\cdot m_b}{2}=\frac{c\cdot m_c}{2}.\)

Ezekből fejezzük ki az oldalakat: \(\displaystyle a=\frac{2T}{m_a}\), \(\displaystyle b=\frac{2T}{m_b}\), \(\displaystyle c=\frac{2T}{m_c}\).

Írjuk fel a háromszög oldalaira a háromszög-egyenlőtlenséget: \(\displaystyle a+b>c\).

Az előbb kapott képleteket beírva és a \(\displaystyle T>0\) területtel osztva:

\(\displaystyle \frac{2T}{m_a} +\frac{2T}{m_b} >\frac{2T}{m_c},\)

\(\displaystyle \frac{1}{m_a} +\frac{1}{m_b} >\frac{1}{m_c}.\)

Legyen most a három magasság \(\displaystyle m_a>m_b>m_c\). Az adott értékeket behelyettesítve:

\(\displaystyle \frac{1}{20}+\frac{1}{17}>\frac 19.\)

Ez az egyenlőtlenség azonban nem teljesül, ugyanis

\(\displaystyle \frac{1}{20}+\frac{1}{17}=\frac{153}{3060}+\frac{180}{3060}=\frac{333}{3060}<\frac{340}{3060}=\frac 19.\)

Tehát az adott magasságokkal nem szerkeszthető háromszög.

Statistics:

142 students sent a solution.
5 points:	105 students.
4 points:	18 students.
3 points:	11 students.
2 points:	2 students.
1 point:	3 students.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2017