Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1393. (January 2017)

C. 1393. Prove that there is no triangle whose altitudes have lengths 20, 17 and 9 cm.

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy létezik ilyen háromszög. Ekkor a háromszög területét háromféleképpen felírva:

\(\displaystyle T=\frac{a\cdot m_a}{2}=\frac{b\cdot m_b}{2}=\frac{c\cdot m_c}{2}.\)

Ezekből fejezzük ki az oldalakat: \(\displaystyle a=\frac{2T}{m_a}\), \(\displaystyle b=\frac{2T}{m_b}\), \(\displaystyle c=\frac{2T}{m_c}\).

Írjuk fel a háromszög oldalaira a háromszög-egyenlőtlenséget: \(\displaystyle a+b>c\).

Az előbb kapott képleteket beírva és a \(\displaystyle T>0\) területtel osztva:

\(\displaystyle \frac{2T}{m_a} +\frac{2T}{m_b} >\frac{2T}{m_c},\)

\(\displaystyle \frac{1}{m_a} +\frac{1}{m_b} >\frac{1}{m_c}.\)

Legyen most a három magasság \(\displaystyle m_a>m_b>m_c\). Az adott értékeket behelyettesítve:

\(\displaystyle \frac{1}{20}+\frac{1}{17}>\frac 19.\)

Ez az egyenlőtlenség azonban nem teljesül, ugyanis

\(\displaystyle \frac{1}{20}+\frac{1}{17}=\frac{153}{3060}+\frac{180}{3060}=\frac{333}{3060}<\frac{340}{3060}=\frac 19.\)

Tehát az adott magasságokkal nem szerkeszthető háromszög.


Statistics:

143 students sent a solution.
5 points:106 students.
4 points:18 students.
3 points:11 students.
2 points:2 students.
1 point:3 students.
0 point:3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2017