Problem C. 1396. (January 2017)
C. 1396. All through a football game, a record of the current score is kept and updated. How many different records are possible if the final result is 3-3? In what percentage of the possible records is there a part of the game when one team was leading by at least 2 goals?
(5 pont)
Deadline expired on February 10, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen a két csapat jele B és J és készítsük úgy a jegyzőkönyvet, hogy amelyik csapat gólt rúg, annak a betűjelét írjuk le. Így a jegyzőkönyvek hat betűből álló sorozatok lesznek, melyekben pontosan három B és három J betű szerepel. Ez 6 elem permutációja 3,3 ismétléssel: \(\displaystyle P_6^3=\frac{6!}{3!\cdot3!}=20\).
Tehát 20 féle jegyzőkönyv készülhet.
Ábrázoljuk a lehetséges jegyzőkönyveket egy gráffal. Ha a B csapat nyer, lépjünk balra, ha pedig a J, akkor jobbra (1. ábra). A csúcsok fölé írt számok azt jelentik, hogy hányféleképpen juthatunk abba a csúcsba.
1. ábra
Ha valamelyik csapat a mérkőzések során 2 góllal vezet, az azt jelenti, hogy elő kell fordulni a 2:0, 0:2, 3:0, 0:3, 3:1, 1:3 állások valamelyikének (2. ábra).
2. ábra
Vegyük ki ezeket a gráfból és nézzük meg, hogy ezek nélkül hány eset lehetséges!
8 ilyen eset van, tehát 12 esetben előfordul, hogy egyik csapat legalább két góllal vezet.
Ez az esetek \(\displaystyle \frac{12}{20}\) részében, vagyis \(\displaystyle 60\%\)-ban fordulhat elő.
Statistics:
253 students sent a solution. 5 points: 153 students. 4 points: 28 students. 3 points: 34 students. 2 points: 5 students. 1 point: 3 students. 0 point: 28 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2017