Problem C. 1406. (March 2017)
C. 1406. What is the four-digit number \(\displaystyle \overline{abcd}\) if \(\displaystyle a+b=c+d\), \(\displaystyle a+d=c\), \(\displaystyle {2(a+c)}=b+d\), and \(\displaystyle 3\overline{ab}=\overline{cd}\)?
(5 pont)
Deadline expired on April 10, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az első három összefüggés:
\(\displaystyle a + b = c + d,\)
\(\displaystyle a + d = c,\)
\(\displaystyle 2 (a + c )= b + d.\)
A 2. egyenletből \(\displaystyle c\) értékét beírva a 3. egyenletbe:
\(\displaystyle 2 ( a + a + d ) =b + d.\)
Rendezve:
\(\displaystyle 4a + d = b.\)
Innen b értékét beírva az 1. egyenletbe:
\(\displaystyle a + 4a + d = c + d.\)
Rendezve:
\(\displaystyle 5a=c.\)
Ebből \(\displaystyle c\) értékét beírva a 2. egyenletbe:
\(\displaystyle a + d = 5a.\)
Rendezve:
\(\displaystyle d = 4a.\)
Visszahelyettesítve a \(\displaystyle 4a + d = b\) egyenletbe:
\(\displaystyle b = 8a.\)
Mivel \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) egy négyjegyű szám egyjegyű számjegyei, így \(\displaystyle b = 8a\) miatt csak \(\displaystyle a=1\) lehetséges. Ebből \(\displaystyle b=8\), \(\displaystyle c=5\) és \(\displaystyle d=4\) adódik.
Az utolsó összefüggést nem használtuk fel, ellenőrizve: \(\displaystyle 3\cdot18=54\). A másik három egyenlet az ekvivalens átalakítások miatt teljesül.
A kérdéses négyjegyű szám tehát 1854.
Statistics:
166 students sent a solution. 5 points: 112 students. 4 points: 44 students. 3 points: 1 student. 1 point: 7 students. 0 point: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2017