Problem C. 1415. (April 2017)

C. 1415. A number is written on a blackboard. Two players take turns in selecting one digit of the number on the board, subtracting it from the number, erasing the number on the board and replacing it with the difference obtained. The winner is the player who finally writes 0 on the board. Which player has a winning strategy, and what is the winning strategy if the number they start with is 2017?

(Matlap, Kolozsvár)

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A kezdő játékos nyerhet, ha követi azt a stratégiát, hogy mindig 10-zel osztható számot hagy a másik játékosnak.

Ezt úgy tudja elérni, hogy az adott szám utolsó számjegyét vonja le a számból. Ezt első lépésben is megteheti, mert 2017 nem nullára végződő, így nullától különböző számjegyet von le.

Így 10-zel osztható számot hagy a másik játékosnak.

A másik játékos ezt már nem tudja megtenni, mert bármelyik nullától különböző számjegyét választja ennek a számnak, azt a számból levonva, nem írhat a táblára egy nullára végződő számot.

A táblára felírt számok így szigorúan monoton csökkenő sorozatot alkotnak. Nullától különböző egyjegyű számot csak a második játékos írhat fel a táblára, ezt letörölve a kezdő játékos írja fel a nullát és nyer.

Statistics:

142 students sent a solution.
5 points:	119 students.
4 points:	13 students.
3 points:	4 students.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2017