Problem C. 1421. (May 2017)

C. 1421. Prove that if \(\displaystyle n\in \mathbb{N}^+\) then there exist \(\displaystyle a,b\in \mathbb{N}^+\) such that \(\displaystyle a^2+b^2=13^n\).

Based on a problem by F. Olosz, Szatmárnémeti

(5 pont)

Deadline expired on June 12, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle n=1\). Ekkor \(\displaystyle 13^1=4+9=2^2+3^2\), ami igaz és megfelel a feladat feltételeinek.

Legyen \(\displaystyle n=2\). Ekkor \(\displaystyle 13^2=25+144=5^2+12^2\) , ami szintén igaz és megfelel a feladatnak feltételeinek.

Legyen \(\displaystyle n=2k+1\), ahol \(\displaystyle k\) egy pozitív egész szám. Ekkor \(\displaystyle 13^{2k+1}\)-et kell felírni \(\displaystyle a^2+b^2\) alakban:

\(\displaystyle 13^{2k+1}=13^{2k}\cdot 13=13^{2k}\cdot(2^2+3^2)= 2^2\cdot13^{2k}+3^2\cdot13^{2k}=(2\cdot13^k)^2+(3\cdot13^k)^2.\)

Itt \(\displaystyle 2\cdot13^k=a\), \(\displaystyle 3\cdot13^k=b\) és \(\displaystyle n=2k+1\).

Tehát \(\displaystyle 13^n\) felírható \(\displaystyle a^2+b^2\) alakban minden páratlan \(\displaystyle n\) esetén.

Legyen most \(\displaystyle n=2k+2\), ahol \(\displaystyle k\) egy pozitív egész szám. Ekkor a \(\displaystyle 13^{2k+2}\)-t kell felírni \(\displaystyle a^2+b^2\) alakban:

\(\displaystyle 13^{2k+2}=13^{2k}\cdot 13^2=13^{2k}\cdot(5^2+12^2)= 5^2\cdot13^{2k}+12^2\cdot13^{2k}=(5\cdot13^k)^2+(12\cdot13^k)^2.\)

Itt \(\displaystyle 5\cdot13^k=a\), \(\displaystyle 12\cdot13^k=b\) és \(\displaystyle n=2k+2\).

Tehát \(\displaystyle 13^n\) felírható \(\displaystyle a^2+b^2\) alakban minden páros \(\displaystyle n\) esetén is, vagyis minden \(\displaystyle n∈N^+\) esetén igaz az állítás.

Bukor Benedek (Révkomárom, Selye János Gimn., 10.évf.)

Statistics:

64 students sent a solution.
5 points:	57 students.
3 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2017