Problem C. 1424. (May 2017)
C. 1424. What is the smallest positive value in the range of the function \(\displaystyle x\mapsto \frac{16x^2-96x+153}{x-3}\)?
(5 pont)
Deadline expired on June 12, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Alakítsuk a számlálót teljes négyzetté:
\(\displaystyle \frac{16x^2-96x+153}{x-3}=\frac{16(x-3)^2+9}{x-3}.\)
A függvény legkisebb pozitív értékét keressük. A számláló mindig pozitív, a tört értéke akkor lesz pozitív, ha a nevezője is pozitív, így feltehetjük, hogy \(\displaystyle x>3\).
Tagonként leosztva a nevezővel:
\(\displaystyle \frac{16(x-3)^2+9}{x-3}=16(x-3)+\frac{9}{x-3}.\)
Ennek a függvénynek a minimumát keressük, ha \(\displaystyle x>3\).
Mindkét tag pozitív, így alkalmazhatjuk a számtani és mértani középre vonatkozó egyenlőtlenséget:
\(\displaystyle \frac12\left(16(x-3)+\frac{9}{x-3}\right)≥\sqrt{16(x-3)\cdot\frac{9}{x-3}}=\sqrt{16\cdot9}=12.\)
Vagyis \(\displaystyle \frac{16(x-3)^2+9}{x-3}≥24\).
Az egyenlőség akkor áll fenn, ha \(\displaystyle 16(x-3)=\frac{9}{x-3}=12\), amiből \(\displaystyle x=3,75\).
Tehát a függvény legkisebb pozitív értéke 24, amit \(\displaystyle x=3,75\)-nél vesz fel.
Statistics:
100 students sent a solution. 5 points: 76 students. 4 points: 9 students. 3 points: 2 students. 2 points: 4 students. 1 point: 7 students. 0 point: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2017