Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1427. (September 2017)

C. 1427. Divide a square into ten acute-angled isosceles triangles.

(Elemente der Mathematik)

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy lehetséges konstrukció a következő. Osszuk fel az \(\displaystyle ABCD\) négyzetet 10 darab egyenlő szárú, hegyesszögű háromszögre a következő módon:

Az \(\displaystyle A\) csúcsból \(\displaystyle AB\) sugárral körözve, a kör az \(\displaystyle AC\) átlóból kimetszi az \(\displaystyle E\) pontot. Az így keletkező \(\displaystyle ABE\) és \(\displaystyle ADE\) egybevágó, egyenlő szárú háromszögek szögei \(\displaystyle 45°\) és \(\displaystyle \frac{180°-45°}{2}=67,5°\).

A \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle D\) pontokból \(\displaystyle BE\) sugárral körözve a körök a négyzet oldalaiból kimetszik az \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle G\) pontokat. A keletkező \(\displaystyle BEG\) és \(\displaystyle DEF\) egybevágó, egyenlő szárú háromszögek szögei \(\displaystyle 90°-67,5°=22,5°\) és \(\displaystyle \frac{180°-22,5°}{2}=78,75°\). Az \(\displaystyle C\) csúcsból \(\displaystyle CF\) sugárral körözve, a kör az \(\displaystyle AC\) átlóból kimetszi a \(\displaystyle H\) pontot. Az így keletkező \(\displaystyle CFH\) és \(\displaystyle CGH\) egybevágó, egyenlő szárú háromszögek szögei \(\displaystyle 45°\) és \(\displaystyle \frac{180°-45°}{2}=67,5°\).

Az \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle G\) pontokból \(\displaystyle FH\) sugárral körözve a körök az \(\displaystyle FE\) és \(\displaystyle GE\) szakaszokból kimetszik az \(\displaystyle I\) és \(\displaystyle J\) pontokat. A keletkező \(\displaystyle FHJ\) és \(\displaystyle GHI\) egybevágó, egyenlő szárú háromszögek szögei \(\displaystyle 180°-67,5°-78,75°=33,75°\) és \(\displaystyle \frac{180°-33,75°}{2}=73,125°\).

Már 8 darab háromszög megvan. A maradék kettőt úgy kapjuk, hogy összekötjük az \(\displaystyle I\) és \(\displaystyle J\) pontokat. A keletkező \(\displaystyle HIJ\) háromszög szögei: \(\displaystyle 360°-2\cdot67,5°-2\cdot73,125°=78,75°\) és \(\displaystyle \frac{180°-78,75°}{2}=50,625°\). Az \(\displaystyle EIJ\) háromszög szögei pedig: \(\displaystyle 360°-2\cdot67,5°-2\cdot78,75°=67,5°\) és \(\displaystyle \frac{180°-67,5°}{2}=56,25°\).


Statistics:

92 students sent a solution.
5 points:Abonyi Kata, Ács Imre, Béres András, Biró 424 Ádám, Csikós Patrik, Csuvár Ákos, Debreczeni Dorina, Dombai Zétény, Fonyi Máté Sándor, Gém Viktória, Horcsin Bálint, Hordós Adél Zita, Ill Ninetta, Jánosdeák Márk, Kardos Levente, Kerekes Boldizsár, Kis 194 Károly, Kovács 157 Zita, Kovács 202 Szabolcs, Kozák 023 Balázs, Markó Gábor, Maurer Anna, Merkl Levente, Munkácsi Zalán Ákos, Oláh Zsófia, Pásti Bence, Pinke Andrea, Pintér Martin Sándor, Rátki Luca, Réz 426 Dávid, Sepsi Csombor Márton, Szabados Balázs, Székelyhidi Klára, Szemerédi Előd, Szendrei Botond, Szente Péter, Szőke Péter, Williams Hajna.
4 points:Andó Viola, Bátori Gábor, Rékási Bence.
3 points:20 students.
2 points:4 students.
1 point:4 students.
0 point:20 students.
Unfair, not evaluated:3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2017