Problem C. 1428. (September 2017)

C. 1428. The product of four consecutive odd numbers ends in a digit of 9. What may be the preceding digit?

(Matlap, Kolozsvár [Cluj-Napoca])

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a szorzat 9-re végződik, akkor nem szerepelhet a négy szám között olyan, ami 5-re végződik. Ez csak úgy lehetséges, ha a négy szám növekvő sorrendben:

\(\displaystyle 10n-3,\,10n-1,\,10n+1,\,10n+3.\)

Ekkor a szorzatuk:

\(\displaystyle (10n-3)(10n-1)(10n+1)(10n+3)=(100n^2-9)(100n^2-1) =10^4 n^4-10^3 n^2+9=10^3 (10n^4-n^2 )+9.\)

Ebből látszik, hogy az utolsó számjegyet, a 9-et, egy három nullára végződő számhoz adjuk hozzá, tehát a 9 előtt 0 áll.

Statistics:

231 students sent a solution.
5 points:	100 students.
4 points:	20 students.
3 points:	11 students.
2 points:	30 students.
1 point:	50 students.
0 point:	15 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2017