Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A C. 1429. feladat (2017. szeptember)

C. 1429. Egy \(\displaystyle 5\mathrm{~cm}\times8\mathrm{~cm}\) méretű téglalapban elhelyeztünk tíz pontot. Bizonyítsuk be, hogy van két olyan pont, amelyek távolsága nem nagyobb \(\displaystyle \sqrt{10}\) cm-nél.

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. október 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Osszuk fel a téglalapot oldalaival párhuzamos egyenesekkel 9 egybevágó kisebb téglalapra, melyek oldalai \(\displaystyle \frac53\) és \(\displaystyle \frac83\) cm. A nagy téglalapban elhelyezett 10 pont közül, a skatulya elv alapján, 2 pontnak ugyanabba a kis téglalapba kell esnie. Ennek a két pontnak a távolsága legfeljebb a kis téglalap átlója lehet:

\(\displaystyle d≤\sqrt{\left(\frac53\right)^2+\left(\frac83\right)^2}=\frac{\sqrt{89}}{3}<\frac{\sqrt{90}}{3}=\sqrt{10}.\)

Ezzel beláttuk, hogy a 10 pont közül van két olyan pont, melyek távolsága kisebb, mint \(\displaystyle \sqrt{10}\).


Statisztika:

278 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:130 versenyző.
4 pontot kapott:31 versenyző.
3 pontot kapott:21 versenyző.
2 pontot kapott:36 versenyző.
1 pontot kapott:41 versenyző.
0 pontot kapott:19 versenyző.

A KöMaL 2017. szeptemberi matematika feladatai