Problem C. 1429. (September 2017)

C. 1429. Ten points are placed in a \(\displaystyle 5\mathrm{~cm}\times8\mathrm{~cm}\) rectangle. Prove that there are two points separated by a distance of at most \(\displaystyle \sqrt{10}\) cm.

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Osszuk fel a téglalapot oldalaival párhuzamos egyenesekkel 9 egybevágó kisebb téglalapra, melyek oldalai \(\displaystyle \frac53\) és \(\displaystyle \frac83\) cm. A nagy téglalapban elhelyezett 10 pont közül, a skatulya elv alapján, 2 pontnak ugyanabba a kis téglalapba kell esnie. Ennek a két pontnak a távolsága legfeljebb a kis téglalap átlója lehet:

\(\displaystyle d≤\sqrt{\left(\frac53\right)^2+\left(\frac83\right)^2}=\frac{\sqrt{89}}{3}<\frac{\sqrt{90}}{3}=\sqrt{10}.\)

Ezzel beláttuk, hogy a 10 pont közül van két olyan pont, melyek távolsága kisebb, mint \(\displaystyle \sqrt{10}\).

Statistics:

277 students sent a solution.
5 points:	129 students.
4 points:	31 students.
3 points:	21 students.
2 points:	36 students.
1 point:	41 students.
0 point:	19 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2017