Problem C. 1430. (September 2017)
C. 1430. Determine all natural numbers \(\displaystyle x\) and \(\displaystyle y\) such that \(\displaystyle \frac{20}{x}+\frac{17}{y}=1\), and \(\displaystyle xy\) is a perfect square.
(Proposed by B. Kovács, Szatmárnémeti)
(5 pont)
Deadline expired on October 10, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
1. megoldás. Feltétel: \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y ≠ 0\).
\(\displaystyle xy\)–nal szorozva és rendezve az egyenletet:
\(\displaystyle (x – 20)(y – 17) = 20\cdot17.\)
Ebből \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) lehetséges értékei:
| \(\displaystyle x-20\) | 1 | 2 | 4 | 5 | 10 | 17 | 20 | 34 | 68 | 85 | 170 | 340 |
| \(\displaystyle y-17\) | 340 | 170 | 85 | 68 | 34 | 20 | 17 | 10 | 5 | 4 | 2 | 1 |
| \(\displaystyle x\) | 21 | 22 | 24 | 25 | 30 | 37 | 40 | 54 | 88 | 105 | 190 | 360 |
| \(\displaystyle y\) | 357 | 187 | 102 | 85 | 51 | 37 | 34 | 27 | 22 | 21 | 19 | 18 |
Két esetben lesz \(\displaystyle xy\) teljes négyzet: \(\displaystyle x = 37\) és \(\displaystyle y = 37\), ekkor \(\displaystyle xy = 372\); és \(\displaystyle x = 88\) és \(\displaystyle y = 22\), ekkor \(\displaystyle xy = 442\).
2. megoldás. Mivel \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) természetes számok, az egyenletből látható, hogy \(\displaystyle x≠0\), \(\displaystyle y≠0\), valamint \(\displaystyle x>20\) és \(\displaystyle y>17\), különben a másik szám nem lehetne pozitív.
Mindkét oldalt \(\displaystyle xy\)-nal megszorozva és rendezve:
\(\displaystyle 20y+17x=xy,\)
\(\displaystyle 17x=(x-20)y.\)
Ebből \(\displaystyle y\)-t kifejezve:
\(\displaystyle y=\frac{17x}{x-20}.\)
Mivel \(\displaystyle y≥18\), ezért \(\displaystyle \frac{17x}{x-20}≥18\), amiből (\(\displaystyle x>20\) miatt) \(\displaystyle x≤360\) következik. Célunk, hogy az \(\displaystyle xy=\frac{17}{x-20}x^2\) szorzat négyzetszám legyen. Ez akkor lesz négyzetszám, ha \(\displaystyle \frac{17}{x-20}\) négyzetszám, vagy ha reciproka, \(\displaystyle \frac{x-20}{17}\) négyzetszám és osztója \(\displaystyle x^2\)-nek.
Mivel 17 prímszám, ezért az első esetben csak \(\displaystyle \frac{17}{x-20}=1\) lehet a megoldás. Ekkor \(\displaystyle x=y=37\).
A második esetben legyen \(\displaystyle \frac{x-20}{17}=k^2\), ahol \(\displaystyle k≥2\) természetes szám. (A \(\displaystyle k=1\) az első esetet jelenti.) Akkor kapunk megoldást, ha \(\displaystyle k\) osztója \(\displaystyle x\)-nek, hiszen akkor \(\displaystyle \frac{x^2}{k^2}\) négyzetszám (\(\displaystyle k<x\)).
\(\displaystyle x=17k^2+20≤360.\)
Ebből \(\displaystyle 2≤k≤4<\sqrt{20}\) adódik.
\(\displaystyle \frac xk=\frac{17k^2+20}{k}=17k+\frac{20}{k}.\)
Ez akkor lesz egész szám, ha \(\displaystyle k\) értéke 2 vagy 4.
Ha \(\displaystyle k=2\), akkor \(\displaystyle x=88\), \(\displaystyle y=22\), \(\displaystyle xy=1936=44^2\).
Ha \(\displaystyle k=4\), akkor \(\displaystyle x=292\), de \(\displaystyle y\) nem lesz egész szám.
Tehát két megoldáspárt kaptunk: \(\displaystyle x=y=37\) és \(\displaystyle x=88\), \(\displaystyle y=22\). Mindkettő kielégíti az adott egyenletet és \(\displaystyle xy\) értéke négyzetszám.
Statistics:
259 students sent a solution. 5 points: 106 students. 4 points: 26 students. 3 points: 20 students. 2 points: 30 students. 1 point: 53 students. 0 point: 18 students. Unfair, not evaluated: 6 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2017