Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1430. (September 2017)

C. 1430. Determine all natural numbers \(\displaystyle x\) and \(\displaystyle y\) such that \(\displaystyle \frac{20}{x}+\frac{17}{y}=1\), and \(\displaystyle xy\) is a perfect square.

(Proposed by B. Kovács, Szatmárnémeti)

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Feltétel: \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y ≠ 0\).

\(\displaystyle xy\)–nal szorozva és rendezve az egyenletet:

\(\displaystyle (x – 20)(y – 17) = 20\cdot17.\)

Ebből \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) lehetséges értékei:

\(\displaystyle x-20\) 1 2 4 5 10 17 20 34 68 85 170 340
\(\displaystyle y-17\) 340 170 85 68 34 20 17 10 5 4 2 1
\(\displaystyle x\) 21 22 24 25 30 37 40 54 88 105 190 360
\(\displaystyle y\) 357 187 102 85 51 37 34 27 22 21 19 18

Két esetben lesz \(\displaystyle xy\) teljes négyzet: \(\displaystyle x = 37\) és \(\displaystyle y = 37\), ekkor \(\displaystyle xy = 372\); és \(\displaystyle x = 88\) és \(\displaystyle y = 22\), ekkor \(\displaystyle xy = 442\).

2. megoldás. Mivel \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) természetes számok, az egyenletből látható, hogy \(\displaystyle x≠0\), \(\displaystyle y≠0\), valamint \(\displaystyle x>20\) és \(\displaystyle y>17\), különben a másik szám nem lehetne pozitív.

Mindkét oldalt \(\displaystyle xy\)-nal megszorozva és rendezve:

\(\displaystyle 20y+17x=xy,\)

\(\displaystyle 17x=(x-20)y.\)

Ebből \(\displaystyle y\)-t kifejezve:

\(\displaystyle y=\frac{17x}{x-20}.\)

Mivel \(\displaystyle y≥18\), ezért \(\displaystyle \frac{17x}{x-20}≥18\), amiből (\(\displaystyle x>20\) miatt) \(\displaystyle x≤360\) következik. Célunk, hogy az \(\displaystyle xy=\frac{17}{x-20}x^2\) szorzat négyzetszám legyen. Ez akkor lesz négyzetszám, ha \(\displaystyle \frac{17}{x-20}\) négyzetszám, vagy ha reciproka, \(\displaystyle \frac{x-20}{17}\) négyzetszám és osztója \(\displaystyle x^2\)-nek.

Mivel 17 prímszám, ezért az első esetben csak \(\displaystyle \frac{17}{x-20}=1\) lehet a megoldás. Ekkor \(\displaystyle x=y=37\).

A második esetben legyen \(\displaystyle \frac{x-20}{17}=k^2\), ahol \(\displaystyle k≥2\) természetes szám. (A \(\displaystyle k=1\) az első esetet jelenti.) Akkor kapunk megoldást, ha \(\displaystyle k\) osztója \(\displaystyle x\)-nek, hiszen akkor \(\displaystyle \frac{x^2}{k^2}\) négyzetszám (\(\displaystyle k<x\)).

\(\displaystyle x=17k^2+20≤360.\)

Ebből \(\displaystyle 2≤k≤4<\sqrt{20}\) adódik.

\(\displaystyle \frac xk=\frac{17k^2+20}{k}=17k+\frac{20}{k}.\)

Ez akkor lesz egész szám, ha \(\displaystyle k\) értéke 2 vagy 4.

Ha \(\displaystyle k=2\), akkor \(\displaystyle x=88\), \(\displaystyle y=22\), \(\displaystyle xy=1936=44^2\).

Ha \(\displaystyle k=4\), akkor \(\displaystyle x=292\), de \(\displaystyle y\) nem lesz egész szám.

Tehát két megoldáspárt kaptunk: \(\displaystyle x=y=37\) és \(\displaystyle x=88\), \(\displaystyle y=22\). Mindkettő kielégíti az adott egyenletet és \(\displaystyle xy\) értéke négyzetszám.


Statistics:

259 students sent a solution.
5 points:106 students.
4 points:26 students.
3 points:20 students.
2 points:30 students.
1 point:53 students.
0 point:18 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2017