Problem C. 1432. (September 2017)

C. 1432. Let \(\displaystyle n\) be a positive integer. Show that there exists an \(\displaystyle n\)-digit number that is divisible by \(\displaystyle 2^n\), and only contains digits of 1 and 2.

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha \(\displaystyle n=1\), akkor \(\displaystyle 2^n=2^1=2\) és a \(\displaystyle 2\) lesz a megfelelő egyjegyű szám. Ha \(\displaystyle n=2\), akkor \(\displaystyle 2^n=2^2=4\) és a \(\displaystyle 12\) lesz az a keresett kétjegyű szám, ami osztható \(\displaystyle 4\)-gyel. Tovább vizsgálódva a következő számokat kapjuk:

Azt sejtjük, hogy egy megfelelő \(\displaystyle n\)-jegyű szám elé írva 1-est vagy 2-est egy megfelelő (\(\displaystyle n+1\))-jegyű számot kapunk: ha \(\displaystyle 2^n|x\), akkor \(\displaystyle 2^{n+1}|10^n+x\) vagy \(\displaystyle 2^{n+1}|2\cdot10^n+x\). Mivel \(\displaystyle 10^n+x=2^n\left(5^n+\frac{x}{2^n}\right)\), ezért ha \(\displaystyle \frac{x}{2^n}\) páratlan, akkor \(\displaystyle 5^n\)-t hozzáadva páros számot kapunk, vagyis a zárójeles rész is páros, és a szorzat osztható \(\displaystyle 2^{n+1}\)-nel. Hasonlóan, \(\displaystyle 2\cdot10^n+x=2^n\left(2\cdot5^n+\frac{x}{2^n}\right)\), ezért ha \(\displaystyle \frac{x}{2^n}\) páros, akkor \(\displaystyle 2\cdot5^n\)-t hozzáadva páros számot kapunk. Ekkor a zárójeles rész is páros, és a szorzat itt is osztható \(\displaystyle 2^{n+1}\)-nel.

Statistics:

61 students sent a solution.
5 points:	Agócs Katinka, Ajtai Boglárka, Balog 518 Lóránd, Bíró Dániel, Bukor Benedek, Deák Péter, Dékány Barnabás, Havlik Miklós, Horváth Dávid, Jankovits András, Julinek István, Kiszelovics Dorina, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Németh Csilla Márta, Porkoláb Mercédesz, Rittgasszer Ákos, Spányik Teodor, Surján Anett, Szántó Julianna, Szécsi Adél Lilla, Szepessy Luca, Szőnyi Laura, Tóth Imre.
4 points:	Gémes Mirjam, Hegedűs András, Kovács 526 Tamás, Kozma Balázs, Mészáros Melinda, Nagy 999 Benedek, Nyitrai Boglárka, Paksi Barnabás, Ruzsa Kata, Sal Dávid, Szász Kristóf, Tóth 529 Petra, Varga 274 Tamás, Wolff Vilmos, Zsemberi Dániel.
3 points:	6 students.
2 points:	6 students.
1 point:	7 students.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2017