Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1433. (September 2017)

C. 1433. Four \(\displaystyle r\times6r\) rectangles are assembled to form a flexible rhombus, hinged on circles of radius \(\displaystyle r\) at the vertices. The circles touch the shorter sides of the rectangles at the midpoints (see the figure). The circles can be moved to change the angles of the rhombus, but the rectangles may not overlap. What are the smallest and the largest possible angles?

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A legkisebb szög akkor keletkezik, amikor a téglalapok csúcsa éppen összeér a \(\displaystyle C\) pontban.

Mivel az érintők merőlegesek a sugárra és a téglalap szögei derékszögek, így a rombusz hegyesszöge megegyezik az \(\displaystyle AOB∡=2α\) szöggel (párhuzamos szárú hegyesszögek).

Az \(\displaystyle ACO\) és \(\displaystyle BCO\) egybevágó derékszögű háromszögekben a rövidebbik befogók: \(\displaystyle AC=BC=r/2\), a hosszabbik befogók: \(\displaystyle AO=BO=r\). Így \(\displaystyle tgα=1/2\), vagyis \(\displaystyle α≈26,565°\). Tehát a legkisebb szög \(\displaystyle 2α≈53,13°\). A legnagyobb szög is ekkor keletkezik, ugyanezen rombusz tompaszöge lesz az: \(\displaystyle 180°-2α=126,87°\).

Statistics:

99 students sent a solution.
5 points:Agócs Katinka, Ajtai Boglárka, Almási Adél Csilla, Bukor Benedek, Csikós-Nagy Máté, Dékány Barnabás, Gálffy Veronika, Jankovits András, Kocsák Boglárka, Kozma Balázs, Kozma Bianka, Kulcsár Krisztina, Lajkó Áron, Magyar 257 Boglárka, Mészáros 916 Márton, Mészáros Melinda, Molnár 410 István, Molnár 921 Ádám, Mónos Péter, Németh Csilla Márta, Oláh Zsolt, Paksi Barnabás, Pap Ábel, Porkoláb Mercédesz, Remény Olivér, Rittgasszer Ákos, Ruszthi Csilla, Spányik Teodor, Surján Anett, Szalkai Tamás, Szécsi Adél Lilla, Szepessy Luca, Takács 666 Réka, Tirpák Péter, Török Boldizsár, Veress Luca.
4 points:35 students.
3 points:16 students.
2 points:6 students.
1 point:2 students.
0 point:4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2017