Problem C. 1434. (October 2017)

C. 1434. In a running race organized in Munich, the participants started simultaneously and ran along a set path. 30 minutes after the start of the race, a car set out from the starting line and followed the runners at uniform speed. For each participant, the race terminated whenever the car caught up with him or her. The female winner was overtaken by the car at 68 km, and the male winner was overtaken at 92 km, 1 hour and 36 minutes later. Assuming that they also ran at uniform speed, what were the speeds of the two winners, and what was the speed of the car?

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás Legyen a női győztes futóideje órában megadva \(\displaystyle t_N\), a férfi győztesé \(\displaystyle t_F\), átlagos sebességük pedig km/h mértékegységet használva \(\displaystyle v_N\) és \(\displaystyle v_F\), az elfogó autó sebessége pedig \(\displaystyle v\). Ekkor a következő összefüggéseket tudjuk felírni:

I. \(\displaystyle v_N\cdot t_N=68\),

II. \(\displaystyle v_F\cdot t_F=92\),

III. \(\displaystyle (t_N-0,5)\cdot v=68\),

IV. \(\displaystyle (t_F-0,5)\cdot v=92\),

V. \(\displaystyle t_F-t_N=1,6\).

A III. és IV. egyenletben a zárójelet felbontva és a IV.-ből a III.-at kivonva:

\(\displaystyle t_N\cdot v-0,5v=68,\)

\(\displaystyle t_F\cdot v-0,5v=92,\)

\(\displaystyle (t_F-t_N )\cdot v=24.\)

Az V. egyenletet felhasználva:

\(\displaystyle 1,6\cdot v=24.\)

Vagyis \(\displaystyle v=\frac{24}{1,6}=15\) km/h sebességgel haladt az elfogó autó.

Ezt visszahelyettesítve a III. és IV egyenletbe:

A női győztes ideje: \(\displaystyle t_N=\frac{68}{v}+0,5=\frac{68}{15}+\frac{15}{30}=\frac{151}{30}=5 \frac{1}{30}\) óra= \(\displaystyle 5\) óra \(\displaystyle 2\) perc.

A férfi győztes ideje: \(\displaystyle t_F=\frac{92}{v}+0,5=\frac{92}{15}+\frac{15}{30}=\frac{199}{30}=6 \frac{19}{30}\) óra= \(\displaystyle 6\) óra \(\displaystyle 38\) perc.

Az I. és II. egyenletekből a sebességek:

A női győztes sebessége: \(\displaystyle v_N=\frac{68}{t_N} =68\cdot\frac{30}{151}\approx 13,51\) km/h.

A férfi győztes sebessége: \(\displaystyle v_F=\frac{92}{t_F} =92\cdot\frac{30}{199}≈13,87\) km/h.

Statistics:

220 students sent a solution.
5 points:	174 students.
4 points:	6 students.
3 points:	9 students.
2 points:	9 students.
1 point:	6 students.
0 point:	16 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2017