Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A C. 1437. feladat (2017. november)

C. 1437. Októberi számunkban a feladat hibásan jelent meg. A feladatot újra kitűzzük; a novemberi feladatokkal együtt küldhető be.

Kilenc különböző egyenes mindegyike \(\displaystyle 2:3\) arányban osztja egy négyzet területét úgy, hogy egyik egyenes sem vág le háromszög alakú részt a négyzetből. Igazoljuk, hogy az egyenesek között van három olyan, amelyek egy ponton mennek keresztül.

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. december 11-én LEJÁRT.


Megoldás. A feladat állítása akkor igaz, ha feltesszük, hogy az egyenesek mindegyike két trapézra vágja a négyzetet. Legyen \(\displaystyle e\) egy olyan egyenes, amely 2:3 arányban két trapézra osztja az \(\displaystyle ABCD\) négyzet területét.

Legyen az \(\displaystyle e\) egyenes négyzetbe eső \(\displaystyle EG\) szakaszának felezőpontja \(\displaystyle K\). Húzzunk a \(\displaystyle K\) ponton keresztül párhuzamost a négyzet \(\displaystyle AB\) oldalával, legyen ez az \(\displaystyle f\) egyenes, metszéspontjai a négyzet \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle AD\) oldalával pedig rendre \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle H\). Ekkor a keletkező \(\displaystyle EFK\) és \(\displaystyle HGK\) derékszögű háromszögek egybevágóak lesznek, mert megegyeznek egy oldalban és három szögben. Ezeknek a háromszögeknek a területe is egyenlő, ezért az \(\displaystyle f\) egyenes, vagyis az \(\displaystyle FH\) szakasz is 2:3 arányban osztja az \(\displaystyle ABCD\) négyzet területét.

Ebből az következik, hogyha egy egyenes 2:3 arányban két trapézra osztja a négyzet területét, akkor át kell haladnia egy, a négyzet területét szintén 2:3 arányban osztó, a négyzet két szemközti oldalával párhuzamos szakasz felezőpontján. Ilyen szakasz és felezőpont négy darab van, tehát a skatulyaelv miatt a kilenc különböző, 2:3 arányban osztó egyenes közül háromnak egy ilyen ponton kell átmennie.


Statisztika:

A C. 1437. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2017. novemberi matematika feladatai