Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1438. (October 2017)

C. 1438. Prove that the equation \(\displaystyle x^2+y^3=z^4\) has no solution of prime numbers \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\).

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel két páratlan szám összege és különbsége is páros, és csak egy páros prímszám van, így az egyik váltózó értéke 2.

Átrendezve az egyenletet és a jobb oldalt szorzattá alakítva:

\(\displaystyle y^3=z^4-x^2,\)

\(\displaystyle y^3=(z^2+x)(z^2-x).\)

Feltételezve, hogy \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle z\) prímszámok, akkor a jobb oldalon két különböző egész szám szorzata áll, így \(\displaystyle y\) csak úgy lehet prímszám, ha \(\displaystyle z^2+x=y^2\) és \(\displaystyle z^2-x=y\), vagy \(\displaystyle z^2+x=y^3\) és \(\displaystyle z^2-x=1\).

Az első esetben \(\displaystyle x=y^2-z^2=(y-z)(y+z)\), így \(\displaystyle x\) csak akkor lehet prímszám, ha \(\displaystyle y-z=1\). Ekkor \(\displaystyle z=2\) és \(\displaystyle y=3\), amiből \(\displaystyle x=5\) adódik. Ezek az értékek viszont nem megoldásai az eredeti egyenletnek.

A második esetben \(\displaystyle z^2=x+1\), amiből \(\displaystyle y^3=2x+1\).

Láthatóan \(\displaystyle y\) páratlan szám, valamint \(\displaystyle x\) nem lehet 2, mert \(\displaystyle x+1=3\) nem négyzetszám. Tehát csak \(\displaystyle z\) lehet 2. \(\displaystyle z=2\) esetén \(\displaystyle 2^2=x+1\), tehát \(\displaystyle x=3\), ekkor \(\displaystyle y^3=2\cdot3+1=7\) lenne, tehát \(\displaystyle y\) nem lehet egész szám.

Ezért az egyenletnek nincs megoldása a prímszámok körében.


Statistics:

215 students sent a solution.
5 points:80 students.
4 points:35 students.
3 points:32 students.
2 points:28 students.
1 point:19 students.
0 point:17 students.
Unfair, not evaluated:4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2017