Problem C. 1439. (October 2017)

C. 1439. For what value of \(\displaystyle c\) will the simultaneous equations

\(\displaystyle {(x-5)}^2+ {(y-1)}^2 =c,\)

\(\displaystyle {(x-1)}^2+ {(y-5)}^2 =c\)

have a unique solution?

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Az egyenletek bal oldalán négyzetszámok összege áll, így biztosan állíthatjuk, hogy \(\displaystyle c≥0\). Ezért tekinthetjük az egyenleteket derékszögű koordináta rendszerben lévő körök egyenleteinek. Az első az \(\displaystyle A(5;1)\) középpontú, \(\displaystyle r=\sqrt c\) sugarú, a másik a \(\displaystyle B(1;5)\) középpontú, \(\displaystyle r=\sqrt c\) sugarú kör egyenlete. Az egyenletrendszernek pontosan akkor van egy megoldása, ha a körök érintik egymást. Ekkor a középpontjaik távolsága éppen két sugárnyi távolság: \(\displaystyle AB=2r=2\sqrt c\).

\(\displaystyle |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(1-5)^2+(5-1)^2}=\sqrt{32}=\sqrt{4c}.\)

Tehát \(\displaystyle c=8\) esetén van egy megoldás.

2. megoldás. Ha \(\displaystyle a\neq b\) és \(\displaystyle x=a\), \(\displaystyle y=b\) megoldás, akkor \(\displaystyle x=b\), \(\displaystyle y=a\) egy ettől különböző megoldás. Tehát ez nem lehetséges, így a megoldásban \(\displaystyle x=y\) lesz. Ekkor a két egyenlet megegyezik:

\(\displaystyle (x-5)^2+(x-1)^2=c,\)

\(\displaystyle 2x^2-12x+(26-c)=0.\)

Ennek akkor lesz egy megoldása, ha a diszkrimináns 0:

\(\displaystyle 12^2-8(26-c)=-64+8c=0,\)

amiből \(\displaystyle c=8\). Ebben az esetben lesz egy megoldása az egyenletrendszernek.

Statistics:

139 students sent a solution.
5 points:	61 students.
4 points:	41 students.
3 points:	12 students.
2 points:	11 students.
1 point:	4 students.
0 point:	6 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2017