Problem C. 1443. (November 2017)

C. 1443. In how many different ways is it possible to represent \(\displaystyle 2017^3\) as a sum of consecutive positive odd numbers?

Based on the idea of L. Hommer, Kemence

(5 pont)

Deadline expired on December 11, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle 2017^3\) páratlan szám, így csak páratlan számú, egymást követő páratlan szám összege lehet. Ezek között van középső, legyen ez \(\displaystyle a_k\). Így \(\displaystyle 2017^3=...+(a_k-4)+(a_k-2)+a_k+(a_k+2)+(a_k+4)+...,\) ahol \(\displaystyle a_k\)-tól balra és jobbra is \(\displaystyle n\) db páratlan szám áll az összegben. Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle 2017^3=(2n+1)\cdot a_k\), vagyis \(\displaystyle a_k\) és \(\displaystyle 2n+1\) a \(\displaystyle 2017^3\) osztói.

\(\displaystyle 2017^3\) osztói: \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2017\), \(\displaystyle 2017^2\), \(\displaystyle 2017^3\).

Ha \(\displaystyle 2n+1=1\) és \(\displaystyle a_k=2017^3\), akkor nincs összeg.

Ha \(\displaystyle 2n+1=2017^3\) és \(\displaystyle a_k= 1\), akkor \(\displaystyle a_k\) bal oldalán negatív számok állnak.

Ha \(\displaystyle 2n+1=2017^2\) és \(\displaystyle a_k=2017\), akkor \(\displaystyle a_k\) bal oldalán negatív számok is állnak, hiszen \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 2015\)-ig a páratlan számok száma \(\displaystyle \frac{2016}{2}\) és

\(\displaystyle \frac{2016}{2}<n=\frac{2017^2-1}{2}=\frac{2018\cdot2016}{2}.\)

Ha \(\displaystyle 2n+1=2017\) és \(\displaystyle a_k=2017^2\), akkor a páratlan számokból álló összeg minden tagja pozitív, mert most 1-től (\(\displaystyle 2017^2-2\))-ig \(\displaystyle \frac{2017^2-1}{2}\) páratlan szám van, és \(\displaystyle a_k\)-tól balra csak \(\displaystyle \frac{2016}{2}\) tagja áll az összegnek, és mint láttuk \(\displaystyle \frac{2016}{2}<\frac{2017^2-1}{2}\).

Tehát csak egyféleképpen írható fel \(\displaystyle 2017^3\) egymást követő pozitív páratlan számok összegeként.

Statistics:

161 students sent a solution.
5 points:	55 students.
4 points:	46 students.
3 points:	24 students.
2 points:	6 students.
1 point:	4 students.
0 point:	21 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2017