Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A C. 1444. feladat (2017. november)

C. 1444. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle x^4-4x^3+8x^2-8x\le 96. \)

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. december 11-én LEJÁRT.


Megoldás. A polinom első két tagja \(\displaystyle (x^4-4x^3)\), azt sejteti, hogy bal oldalon \(\displaystyle (x-1)^4=x^4-4x^3+6x^2-4x+1\) kialakítható. Így az egyenlőtlenségben a szükséges konstansokat mindkét oldalhoz hozzáadva:

\(\displaystyle (x-1)^4+2x^2-4x+2≤96+1+2.\)

A bal oldalon kimaradó tagokat kiemelés után teljes négyzetté alakítva:

\(\displaystyle 2x^2-4x+2=2(x-1)^2.\)

Ezt visszaírva és balra rendezve:

\(\displaystyle (x-1)^4+2(x-1)^2-99≤0.\)

Legyen \(\displaystyle y=(x-1)^2\), ekkor \(\displaystyle y^2=(x-1)^4\) és \(\displaystyle 0≤y\). Az új változót beírva másodfokú egyenlőtlenséget kapunk:

\(\displaystyle y^2+2y-99≤0.\)

Az egyenlőség két megoldása \(\displaystyle y_1=-11\) és \(\displaystyle y_2=9\). Mivel \(\displaystyle 0≤y\), így az egyenlőtlenségünk megoldása: \(\displaystyle 0≤y≤9\). Az \(\displaystyle y\) értékét visszahelyettesítve:

\(\displaystyle 0≤(x-1)^2≤9,\)

vagyis az \(\displaystyle (x-1)^2≤9\) egyenlőtlenséget kell megoldanunk:

\(\displaystyle |x-1|≤3,\)

\(\displaystyle -3≤x-1≤3.\)

Tehát a megoldás \(\displaystyle -2≤x≤4\), vagy \(\displaystyle x\in[-2;4]\).


Statisztika:

206 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:113 versenyző.
4 pontot kapott:33 versenyző.
3 pontot kapott:17 versenyző.
2 pontot kapott:9 versenyző.
1 pontot kapott:19 versenyző.
0 pontot kapott:10 versenyző.
Nem versenyszerű:5 dolgozat.

A KöMaL 2017. novemberi matematika feladatai