Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1444. (November 2017)

C. 1444. Solve the following inequality:

\(\displaystyle x^4-4x^3+8x^2-8x\le 96. \)

(5 pont)

Deadline expired on December 11, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A polinom első két tagja \(\displaystyle (x^4-4x^3)\), azt sejteti, hogy bal oldalon \(\displaystyle (x-1)^4=x^4-4x^3+6x^2-4x+1\) kialakítható. Így az egyenlőtlenségben a szükséges konstansokat mindkét oldalhoz hozzáadva:

\(\displaystyle (x-1)^4+2x^2-4x+2≤96+1+2.\)

A bal oldalon kimaradó tagokat kiemelés után teljes négyzetté alakítva:

\(\displaystyle 2x^2-4x+2=2(x-1)^2.\)

Ezt visszaírva és balra rendezve:

\(\displaystyle (x-1)^4+2(x-1)^2-99≤0.\)

Legyen \(\displaystyle y=(x-1)^2\), ekkor \(\displaystyle y^2=(x-1)^4\) és \(\displaystyle 0≤y\). Az új változót beírva másodfokú egyenlőtlenséget kapunk:

\(\displaystyle y^2+2y-99≤0.\)

Az egyenlőség két megoldása \(\displaystyle y_1=-11\) és \(\displaystyle y_2=9\). Mivel \(\displaystyle 0≤y\), így az egyenlőtlenségünk megoldása: \(\displaystyle 0≤y≤9\). Az \(\displaystyle y\) értékét visszahelyettesítve:

\(\displaystyle 0≤(x-1)^2≤9,\)

vagyis az \(\displaystyle (x-1)^2≤9\) egyenlőtlenséget kell megoldanunk:

\(\displaystyle |x-1|≤3,\)

\(\displaystyle -3≤x-1≤3.\)

Tehát a megoldás \(\displaystyle -2≤x≤4\), vagy \(\displaystyle x\in[-2;4]\).


Statistics:

206 students sent a solution.
5 points:113 students.
4 points:33 students.
3 points:17 students.
2 points:9 students.
1 point:19 students.
0 point:10 students.
Unfair, not evaluated:5 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2017