Problem C. 1444. (November 2017)
C. 1444. Solve the following inequality:
\(\displaystyle x^4-4x^3+8x^2-8x\le 96. \)
(5 pont)
Deadline expired on December 11, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A polinom első két tagja \(\displaystyle (x^4-4x^3)\), azt sejteti, hogy bal oldalon \(\displaystyle (x-1)^4=x^4-4x^3+6x^2-4x+1\) kialakítható. Így az egyenlőtlenségben a szükséges konstansokat mindkét oldalhoz hozzáadva:
\(\displaystyle (x-1)^4+2x^2-4x+2≤96+1+2.\)
A bal oldalon kimaradó tagokat kiemelés után teljes négyzetté alakítva:
\(\displaystyle 2x^2-4x+2=2(x-1)^2.\)
Ezt visszaírva és balra rendezve:
\(\displaystyle (x-1)^4+2(x-1)^2-99≤0.\)
Legyen \(\displaystyle y=(x-1)^2\), ekkor \(\displaystyle y^2=(x-1)^4\) és \(\displaystyle 0≤y\). Az új változót beírva másodfokú egyenlőtlenséget kapunk:
\(\displaystyle y^2+2y-99≤0.\)
Az egyenlőség két megoldása \(\displaystyle y_1=-11\) és \(\displaystyle y_2=9\). Mivel \(\displaystyle 0≤y\), így az egyenlőtlenségünk megoldása: \(\displaystyle 0≤y≤9\). Az \(\displaystyle y\) értékét visszahelyettesítve:
\(\displaystyle 0≤(x-1)^2≤9,\)
vagyis az \(\displaystyle (x-1)^2≤9\) egyenlőtlenséget kell megoldanunk:
\(\displaystyle |x-1|≤3,\)
\(\displaystyle -3≤x-1≤3.\)
Tehát a megoldás \(\displaystyle -2≤x≤4\), vagy \(\displaystyle x\in[-2;4]\).
Statistics:
206 students sent a solution. 5 points: 113 students. 4 points: 33 students. 3 points: 17 students. 2 points: 9 students. 1 point: 19 students. 0 point: 10 students. Unfair, not evaluated: 5 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2017