Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A C. 1445. feladat (2017. november)

C. 1445. Az ,,Egy angol, aki dombra ment fel, de hegyről jött le'' című filmben egy walesi falu mellett lévő hegyet, miután lemérték a magasságát, a földmérők dombnak minősítettek. A falusiak büszkék voltak a hegyükre, és ebbe nem nyugodtak bele. Elhatározták, hogy 984 lábról 1004 lábra emelik a magasságát. Földet hordanak fel a 82 láb sugarú félgömbnek tekinthető dombtetőre olyan csonkakúp alakban, amelynek alkotója a félgömb érintője, és \(\displaystyle 45^\circ\)-os szöget zár be a vízszintessel. Így a magasság meghaladja majd az 1000 lábat, és a dombot újra hegynek lehet nevezni. Hány köbláb földet kellett felhordaniuk a dombra?

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. december 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit.

A hiányzó föld térfogata egy csonkakúp és egy gömbszelet térfogatának különbsége.

A csonkakúp síkmetszete az ábrán az \(\displaystyle ABCD\) trapéz, a gömbszeleté pedig az \(\displaystyle ABG\) körszelet. A mértékegység a hosszúságoknál mindenütt láb.

Mivel \(\displaystyle AD\) érintő, ezért \(\displaystyle DAO\angle=90^{\circ}\) és így \(\displaystyle FAO\angle=45^{\circ}\). Tehát az \(\displaystyle AFO\) egyenlő szárú derékszögű háromszög, ezért \(\displaystyle FO=FA=\frac{R}{\sqrt2}=\frac{82}{\sqrt2}=41\sqrt2\).

A gömbszelet magassága \(\displaystyle m=R-FO=82-41\sqrt2≈24,017\), sugara \(\displaystyle r_1=FA=41\sqrt2≈57,983\).

A gömbszelet térfogata: \(\displaystyle V_{gsz}=\frac{πm(3r_1^2+m^2)}{6}≈134088,9\).

A csonkakúp alapkörének sugara szintén \(\displaystyle r_1≈57,983\), magassága \(\displaystyle m_1=m+h=82-41\sqrt2+20=102-41\sqrt2≈44,017\).

Az \(\displaystyle ADM\) egyenlő szárú derékszögű háromszög, ezért \(\displaystyle AM=DM= m_1\).

A csonkakúp fedőkörének sugara \(\displaystyle r_2=DH=MF=AF-AM=r_1-m_1≈13,966\).

A csonkakúp térfogata: \(\displaystyle V_{cs}=\frac{πm_1(r_1^2+r_1 r_2+r_2^2)}{3}≈201288,6\).

A szükséges föld térfogata: \(\displaystyle V_F=V_{cs}-V_{gsz}≈67200\) köbláb.


Statisztika:

164 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:64 versenyző.
4 pontot kapott:41 versenyző.
3 pontot kapott:24 versenyző.
2 pontot kapott:18 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.
Nem versenyszerű:9 dolgozat.

A KöMaL 2017. novemberi matematika feladatai