Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A C. 1448. feladat (2017. december)

C. 1448. Oldjuk meg a következő egyenletet a pozitív egész számok halmazán:

\(\displaystyle \left[\frac{2017}{x}\right]+\left[\frac{2018}{x+1}\right]=230, \)

ahol \(\displaystyle [a]\) az \(\displaystyle a\) szám egészrésze.

Javasolta: Tatár Zsuzsanna Mária (Felsőgöd)

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Ha \(\displaystyle a\) pozitív egész szám, akkor egészrészére igaz, hogy \(\displaystyle [a]≤a<[a]+1\).

Ezt felhasználva, az egyenletben elhagyva az egészérték jelet, a következő két egyenlőtlenséget írhatjuk fel:

\(\displaystyle 230<\frac{2017}{x}+\frac{2018}{x+1}\)

és

\(\displaystyle \frac{2017}{x}+\frac{2018}{x+1}<232.\)

Mivel \(\displaystyle x\) pozitív egész szám, így az \(\displaystyle x(x+1)=x^2+x\) kifejezéssel beszorozva az egyenlőtlenségek mindkét oldalát, majd rendezve, két másodfokú egyenlőtlenséghez jutunk:

\(\displaystyle 230x^2-3805x-2017<0\)

és

\(\displaystyle 0<232x^2-3803x-2017.\)

Az első megoldása \(\displaystyle 0<x<17,06\), a másodiké \(\displaystyle 16,91<x\).

Tehát \(\displaystyle 16,91<x<17,06\). Mivel \(\displaystyle x\) egész szám, így a megoldás csak \(\displaystyle x=17\) lehet.

Visszahelyettesítve: \(\displaystyle \left[\frac{2017}{17}\right]+\left[\frac{2018}{18}\right]=118+112=230\), tehát \(\displaystyle x=17\) valóban megoldás.


Statisztika:

A C. 1448. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2017. decemberi matematika feladatai