Problem C. 1448. (December 2017)

C. 1448. Solve the following equation on the set of positive integers:

\(\displaystyle \left[\frac{2017}{x}\right]+\left[\frac{2018}{x+1}\right]=230, \)

where \(\displaystyle [a]\) denotes the greatest integer that is not greater than \(\displaystyle a\).

Proposed by Zs. M. Tatár, Felsőgöd

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha \(\displaystyle a\) pozitív egész szám, akkor egészrészére igaz, hogy \(\displaystyle [a]≤a<[a]+1\).

Ezt felhasználva, az egyenletben elhagyva az egészérték jelet, a következő két egyenlőtlenséget írhatjuk fel:

\(\displaystyle 230<\frac{2017}{x}+\frac{2018}{x+1}\)

és

\(\displaystyle \frac{2017}{x}+\frac{2018}{x+1}<232.\)

Mivel \(\displaystyle x\) pozitív egész szám, így az \(\displaystyle x(x+1)=x^2+x\) kifejezéssel beszorozva az egyenlőtlenségek mindkét oldalát, majd rendezve, két másodfokú egyenlőtlenséghez jutunk:

\(\displaystyle 230x^2-3805x-2017<0\)

és

\(\displaystyle 0<232x^2-3803x-2017.\)

Az első megoldása \(\displaystyle 0<x<17,06\), a másodiké \(\displaystyle 16,91<x\).

Tehát \(\displaystyle 16,91<x<17,06\). Mivel \(\displaystyle x\) egész szám, így a megoldás csak \(\displaystyle x=17\) lehet.

Visszahelyettesítve: \(\displaystyle \left[\frac{2017}{17}\right]+\left[\frac{2018}{18}\right]=118+112=230\), tehát \(\displaystyle x=17\) valóban megoldás.

Statistics:

127 students sent a solution.
5 points:	Andó Viola, Atanaszov Vivien, Balázs Réka, Bíró Ferenc, Czett Mátyás, Czifrus Hanna, Debreczeni Dorina, Fonyi Máté Sándor, Forczek Bianka, Hock Ádám, Hordós Adél Zita, Horváth 999 Anikó, Kerekes Boldizsár, Kinyó Kincső, Kis 194 Károly, Kiss 014 Dávid, Korom Lili, Kovács 157 Zita, Kőfaragó Nándor, Markó Gábor, Pinke Andrea, Szalontai Kinga Sára, Szőke Péter, Werner András, Williams Hajna.
4 points:	Bárdos Deák Botond, Biró 424 Ádám, Csóti Kristóf, Gém Viktória, Györfi Bence, Harmath Eszter, Ill Ninetta, Jánosdeák Márk, Kalabay László, Kiss 504 Gábor, Koleszár Domonkos, Kozma Kristóf, Köpenczei Csanád, Lezsák Domonkos, Nagy 202 Eszter , Pálfi Bálint, Rusvai Miklós, Shuborno Das, Szendrei Botond, Szép Emma, Szöllősi Brigitta.
3 points:	10 students.
2 points:	44 students.
1 point:	16 students.
0 point:	11 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2017