Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A C. 1449. feladat (2017. december)

C. 1449. Egy egységsugarú körbe szabályos nyolcágú csillagot írtunk az ábrán látható módon. Mekkora a csillag kerülete?

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit.

A kör sugara egységnyi, így az \(\displaystyle ACO\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle AC=a=\sqrt2\). Az \(\displaystyle ACF\) háromszögben \(\displaystyle FB\) szögfelező, így a \(\displaystyle CLF\) derékszögű háromszögben:

\(\displaystyle \frac a2=FC\cdot \sin 22,5°.\)

Tehát \(\displaystyle FC=\frac{a}{2\sin 22,5°}=\frac{\sqrt2}{2\sin 22,5°}\).

Az \(\displaystyle OED\) háromszögben hasonló gondolatmenettel:

\(\displaystyle \frac d2=OE\sin 22,5°=\sin 22,5°,\)

\(\displaystyle d=2\sin 22,5°.\)

A \(\displaystyle DEJK\) négyszög téglalap, így \(\displaystyle JK=d=2\sin 22,5°\), így

\(\displaystyle FJ+KC=2x=FC-JK=\frac{\sqrt2}{2\sin 22,5°}-2\sin 22,5°≈1,08239.\)

A nyolcágú csillag kerülete:

\(\displaystyle K=16x=8\cdot 2x≈8,65914.\)

Megjegyzés. Ha a \(\displaystyle \sin 22,5°\) pontos értékével, \(\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\)-vel számolunk, akkor a végeredmény \(\displaystyle 8\left(\sqrt{2+\sqrt2}-\sqrt{2-\sqrt2}\right)\).


Statisztika:

A C. 1449. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2017. decemberi matematika feladatai