Problem C. 1450. (December 2017)
C. 1450. In base \(\displaystyle n\) notation, where \(\displaystyle n>3\), a number is divisible by 3 if and only if the sum of its digits is divisible by 3. Determine all such \(\displaystyle n\).
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2018.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A 10-es számrendszerből ismerjük ezt az oszthatósági szabályt. Ott azért igaz, mert a számrendszer alapja \(\displaystyle n=10\), ami hárommal osztva 1-et ad maradékul, így minden hatványa 1-es maradékot fog adni hárommal osztva. Ezért a különböző helyiértékekhez írt számjegyek éppen az ahhoz a helyiértékhez tartozó 3-as maradékot adják meg. Összeszámolva a maradékokat, az éppen a számjegyek összege lesz. Ha ez osztható 3-mal, akkor a szám is.
Ha \(\displaystyle n=3k+1\), akkor \(\displaystyle n^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1=3m+1\); továbbá \(\displaystyle (3k+1)(3m+1)=3(3km+m+k)+1\).
Látható, hogy ha \(\displaystyle n\) az 1-es maradékosztályba tartozik, akkor minden hatványa ide fog tartozni. Ezért az ilyen alapú számrendszereknél igaz lesz a szabály.
Ha \(\displaystyle n\) a 2-es maradékosztályba tartozik, akkor \(\displaystyle n=3k+2\), és \(\displaystyle n^2=9k^2+12k+3+1=3m+1\). Látszik, hogy \(\displaystyle n\) hatványainál felfelé haladva váltakozni fog az 1-es és 2-es maradék. Így a számjegyek összege nem a helyiértékenként képződő maradékok összegét adja meg. A szabály ilyenkor nem használható.
Ha \(\displaystyle n\) osztható hárommal, akkor minden hatványa osztható, így az 1-es helyiérték kivételével nem lesz helyiértékenként 3-mal osztva maradék. A szám akkor lesz 3-mal osztható, ha az utolsó számjegye osztható 3-mal. Hasonlóan, mint a 10-es számrendszernél az 5-ös, vagy 10-es oszthatóság.
Statistics:
147 students sent a solution. 5 points: 68 students. 4 points: 28 students. 3 points: 14 students. 2 points: 11 students. 1 point: 19 students. 0 point: 5 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2017