Problem C. 1452. (December 2017)

C. 1452. A trapezium is inscribed in a circle of radius 13 cm. The distance of the diagonals of the trapezium from the centre of the circle is 5 cm. What is the maximum possible area of the trapezium?

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. A kör sugara \(\displaystyle r=13\) cm, az átlók távolsága a kör középpontjától \(\displaystyle OF=OG=d=5\) cm.

A trapéz átlói a körben húrok. A húr felező merőlegese átmegy a középponton. Legyen a \(\displaystyle BD\) átló felezőpontja az \(\displaystyle F\) pont. A Pitagorasz-tételt használva a \(\displaystyle BFO\) derékszögű háromszögben:

\(\displaystyle BF=\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12 \mathrm{~cm}.\)

\(\displaystyle AC= BD=2BF=24 \mathrm{~cm}.\)

A trapéz területe:

\(\displaystyle T=\frac12\cdot AC\cdot BD\cdot \sinγ=\frac 12\cdot 24\cdot24\cdot\sinγ=288\cdot\sinγ.\)

Ez akkor maximális, ha \(\displaystyle \sinγ=1\), vagyis \(\displaystyle γ=90°\). Ekkor \(\displaystyle T_{max}=288 \mathrm{~cm}^2\).

Statistics:

102 students sent a solution.
5 points:	63 students.
4 points:	1 student.
3 points:	10 students.
2 points:	12 students.
1 point:	6 students.
0 point:	6 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2017