A C. 1455. feladat (2018. január)

C. 1455. Egy szigeten különös pénzérmék vannak forgalomban: a pénznem alapegységei három egymástól különböző egyjegyű szám, és ezeken túl létezik az ő tízszeresük, százszorosuk, ezerszeresük. Tudjuk továbbá, hogy egy kiló kókuszdió árát ki lehet fizetni két egyforma és egy tőlük különböző harmadik pénzérme segítségével, a kétszer annyiba kerülő maracujához viszont a harmadik pénzérme helyett annak tízszeresét kell a másik kettőhöz hozzátenni. Határozzuk meg, hogy milyen értékű érmék vannak forgalomban, ha tudjuk, hogy nincsen 1-es, és a legértékesebb érme a 7000-es.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. február 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek az alapegységek \(\displaystyle 1<a<b<c<10\). A legértékesebb érme: \(\displaystyle 7000=1000c\), vagyis \(\displaystyle c=7\).

További információk két pénzérméről: \(\displaystyle K=2x+y\) és \(\displaystyle M=2K=2x+10y\), amiből \(\displaystyle 4x+2y=2x+10y\).

Ezt rendezve: \(\displaystyle x=4y\), tehát \(\displaystyle x\) páros. Alapegységekkel nem teljesülhet az egyenlet, mert \(\displaystyle 2≤y\), viszont \(\displaystyle x≤7\). Ezért \(\displaystyle 4y\)-nak \(\displaystyle 0\)-ra kell végződnie. Ez úgy lehetséges, ha \(\displaystyle y=5\), (vagy \(\displaystyle 50\), vagy \(\displaystyle 500\)), ekkor \(\displaystyle x=20\) (vagy \(\displaystyle 200\), vagy \(\displaystyle 2000\)).

Ezekből következik, hogy \(\displaystyle a=2\), \(\displaystyle b=5\) és \(\displaystyle c=7\). Ekkor a kókusz \(\displaystyle K=2\cdot20+5=45\) és a maracuja \(\displaystyle M=2\cdot20+10\cdot5=90=2K\) (vagy ezeknek \(\displaystyle 10\) vagy \(\displaystyle 100\) szorosai).

Tehát a következő érmék vannak forgalomban: \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 20\), \(\displaystyle 200\), \(\displaystyle 2000\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 50\), \(\displaystyle 500\), \(\displaystyle 5000\), \(\displaystyle 7\), \(\displaystyle 70\), \(\displaystyle 700\), \(\displaystyle 7000\).

Statisztika:

117 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	82 versenyző.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2018. januári matematika feladatai